Расчет балок на жесткость Сварная балка Сложное сопративление Совместное действие изгиба и кручения Сопромат Лабораторный практикум Опытная проверка теории косого изгиба

Задачи по сопротивлению материалов

Действие динамических нагрузок

Динамической считается такая нагрузка, положение, направление и интенсивность которой зависят от времени, так что необходимо учитывать силы инерции тела в результате ее действия. При этом конструкции или их элементы совершают движения, простейшим видом которых являются колебания. Из различных задач динамики конструкций здесь рассматриваются задачи на действие инерционных и ударных нагрузок, а также задачи на упругие свободные колебания систем с одной степенью свободы.

Инерционные нагрузки

Выбор подшипников качения по статической грузоподъемности

В случае, когда динамическое нагружение характеризуется наличием ускорений частиц тела, необходимо учитывать возникающие в них силы инерции, направленные в сторону, противоположную направлению ускорения. Такое нагружение испытывают твердые деформируемые тела, например, при неравномерном поступательном или при равномерном вращательном движении. Указанные силы инерции добавляют к внешним нагрузкам, к собственному весу тела, и далее расчет ведется как и для статического нагружения.

Если направление ускорения а движения тела совпадает с направлением ускорения g силы тяжести, то динамические усилия Fd , напряжения σd (или τd), перемещения Δd определяются через соответствующие статические величины Fst, σst (или τst), Δst и динамический коэффициент kd

 kd = 1 + (a/g) , (7.1.1)

т.е. имеют место соотношения

 Fd = Fst kd; σd = σst kd; τd = τst kd; Δd = Δst kd. (7.1.2)

Условие прочности в таком случае имеет вид

 σd, max = σst, max kd = σst, max (1 + (a/g))Radm . (7.1.3)

Задача 7.1.1. Проверить прочность стального каната, с помощью которого поднимается вверх кабина лифта с ускорением а = 5 м/сек2. Масса кабины mк = 500 кг, длина каната l = 50 м, диаметр d = 4 см. Характеристики материала каната: плотность ρ = 7,75 г/см3, допускаемое нормальное напряжение Radm = 30 МПа (рис. 7.1.1).

 Решение. Составив условие динамического равновесия в виде ΣFix = 0, определим наибольшее продольное усилие в канате:

где А – площадь поперечного сечения каната.

Максимальное динамическое напряжение будет равно

= 11,64 МПа.

Условие прочности (7.1.3) для каната выполняется.

Задача 7.1.2. Проверить прочность горизонтального бруса, поднимаемого вверх силой F, приложенной посередине бруса, с ускорением а, равным 2g (рис. 7.1.2, а). Брус квадратного поперечного сечения со стороной а1 = 5 см, длина бруса l = 2 м. Характеристики материала бруса: плотность ρ = 2,8 г/см3 , допускаемое нормальное напряжение Radm = 100 МПа.

Решение. Рассчитаем интенсивность равномерно распределенной статической нагрузки, вызванной силой веса

 Интенсивность равномерно распределенной инерционной нагрузки равна

= 206 Н/м.

 Определяем интенсивность суммарной распределенной нагрузки

  Величину сосредоточенной силы F определим из условия динамического равновесия бруса

 Эпюры интенсивностей нагрузок q, pi показаны на рис. 7.1.2, б, в, эпюры интенсивности суммарной нагрузки qΣ, поперечной силы Q и изгибающего момента М – на рис. 7.1.3.

 Максимальный момент будет

 Осевой момент сопротивления квадратного сечения равен

  Определяем максимальное динамическое напряжение

Условие прочности (7.1.3) для бруса выполняется.

 Задача 7.1.3. Тело, состоящее из двух стальных стержней I и II (рис. 7.1.4), движется вверх с ускорением а = 2g. Поперечное сечение стержня I – квадрат со стороной h = 10 см, поперечное сечение стержня II – круг диаметром d = 2,5 см. Длины l1 = 40 см, lII = 80 см. Плотность материала стержней ρ = 7,75 г/см3.

 Определить максимальные нормальные динамические напряжения в каждом стержне.

Ответ: σmax,I = 0,093 МПа;

 σmax,II =2,046 МПа.

  Задача 7.1.4. Стальной канат длиной l = 20 м с прикрепленным к нему грузом весом Р = 5 кН движется вверх с постоянным ускорением а = g (рис. 7.1.5). Рассчитать минимально допустимую (необходимую) площадь поперечного сечения каната, если плотность материала каната ρ = 7,75 г/см3, а допускаемое нормальное напряжение Radm = 30 МПа.

Ответ: Anec = 3,72 см2.

Задача 7.1.5. Конструкция, состоящая из стержня длиной l = 2 м и площадью поперечного сечения А = 0,0005 м2, вместе с прикрепленными к нему двумя грузами Р1 = 2 кН и Р2 = 4 кН, расстояние между которыми 1 м, движется вверх с постоянным ускорением а = 2g (рис. 7.1.6). Определить динамическое удлинение стержня, если модуль упругости материала стержня Е = 0,7·105 МПа, а плотность ρ = 2,8 г/см3.

Ответ: Δld = 6,9 мм.

Задача 7.1.6. Определить наибольшие нормальные напряжения от изгиба двутавра № 30 длиной l = 10 м, поднимаемого с помощью канатов, прикрепленных в сечениях С и D, с ускорением а, равным 5 м/с2 (рис. 7.1.7). Стенка двутавра при подъеме расположена вертикально.

 Ответ: σ = 8,58 МПа.

 Задача 7.1.7. Стальной горизонтальный стержень постоянного поперечного сечения длиной l = 0,6 м равномерно вращается с постоянной угловой скоростью n = 1000 об/мин вокруг вертикальной оси I – I (рис. 7.1.8, а).

Определить наибольшее нормальное растягивающее напряжение в стержне, если плотность его материала ρ = 7,75 г/см3.

Решение. Рассчитаем интенсивность сил инерции в стержне (т.е. силу инерции, отнесенную к единице длины), учитывая, что она равна массе участка единичной длины, умноженной на нормальное ускорение аn , т.е.

,

или, принимая во внимание, что

получаем  Эпюра pi показана на рис. 7.1.8, б.

Продольная растягивающая сила N в сечении, расположенном на расстоянии x от оси вращения, равна площади эпюры рi на участке от сечения до конца стержня, т.е. в рассматриваемой задаче – это площадь трапеции:

  Эпюра N показана на рис. 7.1.8, в. Наибольшее значение продольной силы будет

Определяем наибольшее растягивающее напряжение

  Задача 7.1.8. Дюралюминиевый горизонтальный стержень постоянного поперечного сечения длиной l = 1 м вращается с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси, проходящей через его середину. Определить для этого стержня предельное число оборотов в минуту, если плотность материала ρ = 2,8 г/см3, а допускаемое нормальное напряжение Radm = 100 МПа.

Ответ: nadm = 5100 об/мин.

Задача 7.1.9. Стержневая система, показанная на рис. 7.1.9, а, вращается с постоянной угловой скоростью Ω вокруг оси АВС. Построить эпюру изгибающих моментов Ми от действия инерционных сил и определить допустимое по прочности число оборотов в минуту, если плотность материала стержней ρ = 7,75 г/см3, а допускаемое нормальное напряжение Radm = =160 МПа. Поперечные сечения стержней круглые диаметром d = 3 см, длина отрезка а = 0,2 м.

Решение. Определяем интенсивность сил инерции рi в отдельных стержнях.

 Участок АВС. Силы инерции отдельных частиц стержня взаимно уравновешиваются и изгиба не вызывают; таким образом рiАВС = 0;

  Участок СD. Силы инерции направлены вдоль оси стержня. На расстоянии x от оси вращения интенсивность их будет равна

т.е. при x = 0 имеем  а при x = а получаем  Обозначим буквой q интенсивность сил инерции в точке х = а, т.е.

 Участок DЕ. Так как этот участок параллелен оси вращения, то интенсивность сил инерции на нем будет постоянна и равна

рiDE = q = const.

Эпюры инерционных сил, действующих на рассматриваемую систему, показаны на рис. 7.1.9, б.

Далее определяем изгибающие моменты и строим эпюру Ми. На участке DE эпюра Ми – парабола, на участке DC – прямая, параллельная стержню CD, на участке СB – наклонная прямая и на участке АВ также наклонная прямая (рис. 7.1.9, в).

У к а з а н и е. Равнодействующая распределенной вдоль стержня CD инерционной нагрузки pi равна площади эпюры pi, т.е. в данном случае площади треугольника (R = aq/2).

Из эпюры Ми видно, что максимальное значение изгибающего момента будет в сечении В

Запишем условие прочности в виде где осевой момент сопротивления круглого поперечного сечения подсчитываем по формуле Wz = 0,1d 3.

Таким образом, условие прочности имеет вид

 или

откуда находим допускаемую угловую скорость в рад/сек 


и допускаемое число оборотов в минуту

Задачи 7.1.10–7.1.12. Стержневые системы, вращающиеся с постоянной угловой скоростью Ώ, показаны на рис. 7.1.10–7.1.12. Построить эпюры изгибающих моментов Ми от действия инерционных сил и определить допускаемое число оборотов в минуту.

Плотность материала стержней ρ = 7,75 г/см3, поперечные сечения стержней – круглые диаметром d = 3 см, длина отрезка а = 0,2 м, допускаемое нормальное напряжение Radm = 160 МПа.

Ответы: 7.1.10 – Mmax = 0,75ρАΩ2а3;

7.1.11 – Mmax = ρАΩ2а3; 7.1.12 – Mmax = 3ρАΩ2а3.


Расчеты на прочность и жесткость валов