Расчет балок на жесткость Сварная балка Сложное сопративление Совместное действие изгиба и кручения Сопромат Лабораторный практикум Опытная проверка теории косого изгиба

Задачи по сопротивлению материалов

Расчет кривых брусьев малой кривизны

Если отношение высоты h кривого бруса к его радиусу кривизны Ro существенно меньше единицы (h/Ro < 0,2 ), то считается, что брус имеет малую кривизну. Расчетные формулы, выведенные ранее для прямого бруса, применимы и к брусу малой кривизны.

Расчет на прочность сжато-изгибаемых и растянуто-изгибаемых брусьев малой кривизны следует выполнять по формуле

  (5.4.1)

где и z – координаты рассматриваемой точки поперечного сечения относительно его главных осей. Распределение составных частей изделияпо разделам спецификации и присвоение им обозначений

 В частном случае, если равны нулю поперечная сила Qz и изгибающий момент , будет сочетание прямого изгиба в главной плоскости с растяжением или сжатием. В этом случае расчет следует выполнять по формуле

  (5.4.2)

 Задача 5.4.1. Построить эпюры изгибающих моментов Мz, поперечных   и нормальных N сил для трехшарнирной круговой арки, показанной на рис. 5.4.1, а. При расчете принять q = 3 т/м, F1 = F2 = 10 т, l = 24 м, f = 6 м.

 Определить  в прямоугольном поперечном сечении арки. Размеры поперечного сечения принять .

 Решение. Определим опорные реакции VA, VB, для чего рассмотрим

 откуда VB = 14,75 т;

откуда VA = 23,25 т.

 Составим условие:  тогда  Горизонтальные опорные реакции Н определяем из уравнения  составляемого при рассмотрении только правой части арки

  откуда Н = 19,5 т.

 Аналогичный результат получим, если рассмотреть только левую часть арки.

 Найдем вертикальные опорные реакции RA, RB простой балки, показанной на рис. 5.4.1, б. Предположим, что на балку действует та же нагрузка, что и на арку. В этом случае найдем RA = VA , RB = VB.


В общем виде внутренние усилия в произвольном сечении  трехшарнирной арки выражаются через внутренние усилия  соответствующего сечения простой балки по формулам:

  (5.4.3)

где φ – угол между касательной к оси арки в точке х = const и горизонтальной линией х. Таким образом, для использования формул (5.4.3) необходимо предварительно записать аналитические выражения для изгибающих моментов  поперечных сил  для каждого участка простой балки (рис. 5.4.1, б):

:

 

 

 

  По полученным формулам вычисляем для простой балки с шагом 1 м. Результаты заносим в табл. 5.4.1.

 По условию задачи арка очерчена по окружности, следовательно, ось арки имеет ординату

  (5.4.4)

где радиус кривизны арки вычисляется по формуле

 Для рассматриваемого случая формула (5.4.4) примет вид:

  Находим значения у с шагом 1м, а результаты записываем в табл.5.4.1. Затем также с шагом 1 м вычисляем значения tgφ, cosφ и sinφ по формулам:

   (5.4.5)

 И наконец, по формулам (5.4.3) находим значения внутренних усилий, возникающих в арке. Например, в сечении х = 0 имеем у = 0,   sinφ = 0,8; cosφ = 0,6; Н = 19,5 т. Подставляя эти данные, взятые из первой строки табл. 5.4.1, в формулы (5.4.3) определяем:

Mz(x = 0) = 0 – 19,5·0 = 0;

N(x = 0) = – (23,25·0,8 + 19,5·0,6) = –30,3 т.

  Полученные результаты записываем опять же в первую строку табл. 5.4.1. Затем повторяем все вычисления с шагом . При вычислении внутренних усилий необходимо помнить, что в местах приложения сосредоточенных сил значения поперечных   и нормальных N сил изменяются скачкообразно.

Таблица 5.4.1

х

м

т·м

т

у

м

tgφ

cosφ

sinφ

Mz

тм

т

N

т

0

1

2

3

4

5

6

0

21,75

40,5

56,25

69

78,75

85,5

23,25

20,25

17,25

14,25

11,25

8,25

5,25

0

1,2

2,1

3

3,69

4,27

4,75

1,33

1,08

0,9

0,75

0,63

0,53

0,44

0,6

0,68

0,74

0,8

0,85

0,88

0,92

0,8

0,73

0,67

0,6

0,53

0,47

0,4

0

–1,61

–2,02

–2,25

–2,93

–4,45

–7,08

–1,65

–0,53

–0,14

–0,3

–0,88

–1,8

–2,99

–30,3

–28,1

–26

–24,2

–22,5

–21,1

–20

6

7

8

9

10

11

12

85,5

90,75

96

101,2

106

111,7

117

5,25

4,75

5,14

5,46

5,7

5,87

5,97

6

0,44

0,35

0,28

0,2

0,13

0,07

0

0,92

0,94

0,96

0,98

0,99

0,998

1

0,4

0,33

0,27

0,2

0,13

0,07

0

–7,08

–9,52

–10,4

–9,84

–7,89

–4,6

0

–2,99

–1,55

–0,14

1,24

2,6

3,93

5,25

–20

–20,1

–20,2

–20,2

–20

–19,8

–9,5

12

13

14

15

16

17

18

117

112,2

107,5

102,7

98

93,25

88,5

–4,75

6

5,97

5,87

5,7

5,46

5,14

4,75

0

–0,07

–0,13

–0,2

–0,28

–0,35

–0,44

1

0,998

0,99

0,98

0,96

0,94

0,92

0

–0,07

–0,13

–0,2

–0,27

–0,33

–0,4

0

–4,1

–6,89

–8,34

–8,41

–7,02

–4,08

–4,75

–3,44

–2,11

–0,75

  0,62

 2,02

3,45

–19,5

–19,8

–20

–20,1

–20,1

–20

–19,8

18

19

20

21

22

23

24

88,5

73,75

59

44,25

29,5

14,75

0

–14,75

4,75

4,27

3,69

3

2,1

1,2

0

–0,44

–0,53

–0,63

–0,75

–0,9

–1,08

–1,33

0,92

0,88

0,85

0,8

0,74

0,68

0,6

–0,4

–0,47

–0,53

–0,6

–0,67

–0,73

–0,8

–4,08

–9,45

–12,9

–14,3

–13

–8,61

0

–5,72

–3,45

–0,21

–0,1

2

4,27

6,75

–23,77

–24,1

–24,4

–24,5

–24,4

–24,1

–23,5

 Рассмотрим сечение х = 12 м (точка С на рис. 5.4.1, а). Величины и N в сечении х = 12 – 0 м, принадлежащим второму участку, приведены в табл. 5.4.1. Но сечение х = 12 + 0 м одновременно принадлежит и третьему участку, поэтому определяем  и N по формулам (5.4.3) при условии, что  берется в сечении х = 12 м третьего участка простой балки:

  N(x = 12) = – (–4,75·0 + 19,5·1) = –19,5 т.

 Аналогичные вычисления проводим для сечения х = 18 м, после чего приступаем к построению эпюр Mz, , N для арки (рис. 5.4.1, г).

 Из рассмотрения эпюр внутренних усилий арки можно сделать вывод, что наиболее опасным будет поперечное сечение х = 21 м с

Mz,max = 14,3 т·м и N = –24,5 т.

 Учитывая, что h = 60 см, b = 20 см (рис. 5.4.2), из формулы (5.4.2) определяем


  Задача 5.4.2. Построить эпюры изгибающих моментов Mz, поперечных и нормальных N сил для трехшарнирной параболической арки, показанной на рис. 5.4.3. Ось параболической арки очерчена по кривой

y = 4xf(l – x) / l2,

где f = 6 м, l = 24 м. При расчете принять q = 3 т/м; F1 = F2 = 10 т,

tgφ = 4f(l – 2х) / l2,

а sinφ, cosφ вычисляются по формулам (5.4.5). Определить  в прямоугольном поперечном сечении арки. Размеры поперечного сечения принять

 У к а з а н и е. При решении задачи использовать методику, рассмотренную в примере 5.4.1.

 Ответ: эпюры Mz, , N показаны на рис. 5.4.3;

 = –87,16 кг/см2 в сечении с х = 9 м.

 Задача 5.4.3. Построить эпюры изгибающих моментов Mz, поперечных и нормальных N сил для трехшарнирной эллиптической арки, показанной на рис. 5.4.4. Ось эллиптической арки очерчена по кривой


,  tgφ = 4(f / l)2(l/2 – х) / y,

где f = 6 м, l = 24 м. При расчете принять q = 3 т/м; F1 = F2 = 10 т, а sinφ, cosφ вычисляются по формулам (5.4.5). Определить  в прямоугольном поперечном сечении арки. Размеры поперечного сечения принять

 У к а з а н и е. При решении задачи использовать методику, рассмотренную в примере 5.4.1.

 Ответ: эпюры Mz, , N показаны на рис. 5.4.4;

 = –313,44 кг/см2 в сечении с х = 22 м.

 Задача 5.4.4. Построить эпюры изгибающих моментов М, поперечных Q и нормальных N сил для разрезанного кольца (рис. 5.4.5).

 Ответ: MB = MD = rF, MC = 2rF, MA = ME = 0, NC = QD = F,

 QB = NA = –F,

 QC = NB = ND = 0.

 Задача 5.4.5. Построить эпюры изгибающих моментов М, поперечных Q и нормальных N сил для кривого стержня, показанного на рис. 5.4.6.

 Ответ: MC = MA = 0,

MB = rF, QCD = 0, QBC = –F, QA = 2F, NBD = 2F, NA = F.

 Задача 5.4.6. Построить эпюры изгибающих моментов М, поперечных Q и нормальных N сил для кривого стержня, показанного на рис. 5.4.7.

 Ответ: MC = MA = 0, MB = rF, MD = –rF,

 ME = –2rF, QC = QED = NB = F,

  QA = –F, NA = NC = NED = 0, ND = –F.


Расчеты на прочность и жесткость валов