Задачи по сопротивлению материалов Строительная механика Геометрические характеристики плоских сечений Расчеты на растяжение и сжатие Расчет шпренгельных ферм Расчет напряжений и деформаций валов

Задачи по сопротивлению материалов

Задача. Построить эпюры крутящих моментов Т, абсолютных   и относительных  углов закручивания круглого сплошного ступенчатого стержня, защемленного с двух торцов и нагруженного внешним крутящим моментом М (рис. 3.2.18).

 Решение. Задача один раз статически неопределима. Решим задачу следующим способом. Отбросим мысленно правое защемление, т.е. рассмотрим статически определимый стержень, показанный на рис. 3.2.18, б. Эпюра крутящих моментов для него от действия внешнего крутящего момента М имеет вид, показанный на рис. 3.2.18, в. Определим угол закручивания правого торца В статически определимого стержня:

 Ответ получился со знаком «+», следовательно, сечение В повернется вокруг оси х в направлении внешнего момента М. Но на самом деле сечение 4 статически неопределимого стержня (рис. 3.2.18, а) не поворачивается (. Приложим к статически определимому стержню крутящий момент МВ (рис. 3.2.18, г) и определим угол поворота правого торца только от действия момента МВ, используя эпюру крутящего момента  (рис. 3.2.18, д), 

 Теперь можно записать деформационное условие, показывающее, что угол поворота в сечении 4 статически неопределимого стержня должен быть равен нулю:

  Из этого условия находим МВ = М/6. Крутящий момент МВ будет являться опорной реакцией для статически неопределимого стержня,

МВ = М4.

 Окончательная эпюра крутящих моментов получается сложением двух эпюр   и  (рис. 3.2.18, е).

 Приступаем к построению эпюры углов закручивания φ, для чего вычисляем по формуле (3.2.5) углы закручивания для каждого участка

  

а затем находим значения углов закручивания в характерных сечениях:

   

 Последний результат подтверждает правильность проведенных вычислений. Введя для сокращения новое обозначение , окончательно получаем:

 .

 Затем строим эпюру абсолютных углов закручивания (рис. 3.2.18, ж).

 Для построения эпюры относительных углов закручивания (рис. 3.2.18, з) необходимо предварительно вычислить

 где принято   следовательно,  

 Определим необходимые диаметры стержня. Примем, что внешний крутящий момент М = 20 кНּм, расчетное сопротивление материала стержня на срез Rs = 100 МПа, допустимый относительный угол закручивания , а модуль сдвига G = 8·104 МПа.

 Диаметр стержня в пределах I и II участков будем обозначать d1, а в пределах участка III – d4. Согласно условию задачи между d1 и d4, существует соотношение (рис. 3.2.18, а):

и , тогда откуда

 Кроме того, 

 Необходимый диаметр d1 при условии обеспечения прочности стержня определяем по формуле (3.2.11), взяв значение крутящего момента из эпюры Т, представленной на рис. 3.2.18, е:

 

 Определим максимальное касательное напряжение, которое возникнет в стержне на участке III:

 Необходимый диаметр при условии обеспечения жесткости стержня находим по формуле (3.2.12):

 

 Сравнивая результаты, принимаем окончательно d1 =13 см, d4 =11 см, определенные из условия жесткости.

 Диаметр d4,жестк можно определить также, используя эпюру θ (рис. 3.2.18, з), из которой видно, что  на участке I, поэтому приравнивая

находим  и, наконец, определяем

а


Влияние температуры на напряжение и деформации