Задачи по сопротивлению материалов Строительная механика Геометрические характеристики плоских сечений Расчеты на растяжение и сжатие Расчет шпренгельных ферм Расчет напряжений и деформаций валов

Задачи по сопротивлению материалов

Статически неопределимые задачи на кручение

Как известно, статически неопределимыми называют задачи, в которых число неизвестных опорных реакций или число внутренних усилий превышает число возможных уравнений статики. Один из методов решения статически неопределимых задач сводится к следующему:

а) составляются все возможные в данной задаче уравнения статики;

б) представляется картина деформации, происходящей в данной конструкции, и записываются деформационные уравнения, число которых должно быть равно степени статической неопределимости задачи;

в) решается совместная система уравнений статики и деформационных уравнений.

 Рассмотрим решение статически неопределимой задачи на кручение.

Задача 3.2.22. Построить эпюру крутящих моментов для вала постоянного по длине поперечного сечения, жестко защемленного обоими торцами и нагруженного скручивающим сосредоточенным моментом М (рис. 3.2.12), расположенным на расстоянии а от левого закрепления.

Решение. Так как вал защемлен с двух торцов, то в обоих защемлениях возникнут реактивные опорные моменты МА и МВ. Для их определения используем вначале уравнения статики. В данном случае можно составить только одно уравнение равновесия: , или

 МА+ МВ + М = 0. (3.2.15)

Уравнение содержит две неизвестные величины: МА и МВ. Следовательно, данная задача является один раз статически неопределимой.

Рассматриваем картину деформации вала (рис. 3.2.12, б). Видно, что взаимный угол закручивания правого торца относительно левого равен нулю. Угол поворота правого торца относительно левого может быть представлен в виде суммы углов закручивания отдельных участков вала.

Согласно формуле (3.2.5), углы закручивания по участкам определятся следующим образом: для участка длиной а  для участка длиной b  где Ta и Tb – крутящие моменты на соответствующих участках вала. Суммарный угол закручивания по условию закрепления концов равен нулю, т.е.

  (3.2.16)

Это и есть деформационное уравнение задачи. Преобразуем его. Применяя метод сечений, выразим крутящие моменты Та и Тb:

Та = МА , Тb = МВ.

Подставив эти значения моментов в уравнение (3.2.16), и сократив полученное уравнение на постоянный множитель GIp, получим

 Маּа – Мbּb = 0. (3.2.17)

Решая совместно уравнения (3.2.15) и (3.2.17), найдем

Знак «–» указывает на то, что истинное направление реактивных моментов противоположно выбранному первоначально. Вычислив реактивные моменты, строим эпюру крутящих моментов по известным правилам (рис. 3.2.12, в).


Можно отметить следующую особенность эпюр крутящих моментов в статически неопределимых валах с GIp = const: суммарная площадь эпюры крутящих моментов равна нулю, что по существу предопределено уравнением (3.2.17). Если вал ступенчатый, то нулю должна быть равна сумма площадей эпюры крутящих моментов, отнесенных к моментам инерции сечений на соответствующих участках.

Задача 3.2.23. Построить эпюру крутящих моментов для ступенчатого вала, показанного на рис. 3.2.13.

Ответ: Т1 = – (9/17)М, Т2 = T3 = (8/17)М, Т4 = (16/17)М.

Задача 3.2.24. Построить эпюру крутящих моментов для ступенчатого вала, нагруженного согласно рис. 3.2.14. Известно, что М1 = 200 Нּм, М2 = = 300 Нּм, а = 0,2 м, b = 0,3 м, а также, что полярный момент инерции на третьем участке в два раза больше полярных моментов инерции на первом и втором участках.

Ответ: Т1 = –83,3 Нּм; Т2 = 116,7 Нּм; Т3 = –183,3 Нּм.

Задача 3.2.25. Построить эпюру крутящих моментов для вала, представленного на рис. 3.2.15.

Ответ: Т1 = Т3 = –М/3; Т2 = 2М/3.

Задача 3.2.26. Построить эпюру Т и произвести ее проверку для вала, показанного на рис. 3.2.16.

 Дано: М = 900 Нּм, а = 0,2 м.

Ответ: Т1 = –600 Нּм;

 Т2 = 300 Нּм.

Задача 3.2.27. Построить эпюру Т и произвести ее проверку для вала, показанного на рис. 3.2.17.

Ответ: Т1 = 25 Нּм;

 Т2 = 225 Нּм, Т3 = –175 Нּм.


Влияние температуры на напряжение и деформации