Вычислить массу дуги кривой Неопределенный интеграл Определенный интеграл Вычислить тройной интеграл Цилиндрические координаты Вычисление двойного интеграла Криволинейный интеграл Поверхностный интеграл Функция нескольких переменных

Примеры решения задач по математике 1-2 курса технического университета

Частные производные ФНП, заданной неявно

Если каждой паре чисел (x, y) из некоторой области DxOy соответствует одно или несколько значений z, удовлетворяющих уравнению , то это уравнение неявно определяет функцию 2-х переменных, например, функцию .

Если существуют частные производные функции F(x, y, z):  и , то существуют частные производные от функции z (x, y), которые можно вычислить по формулам:

.  (2)

Пример. Дано: . Найти  и .

Здесь . По формулам (2) находим:

 

Уравнение F(x, y, z) = 0 неявно определяет еще две функции 2-х переменных: x = x(y, z) и y = y(x, z). Частные производные этих функций можно найти по формулам, аналогичным формулам (2), например:

.  (3)

 

Производная сложной ФНП. Полная производная

Пусть функция z= f (x, y, t) – функция трех переменных x, y и t, причем x и y, в свою очередь, являются функциями независимой переменной t, тогда   – это сложная функция одной переменной t, а x и y – промежуточные переменные.

Полной производной по переменной t сложной ФНП  называется её производная , вычисленная как производная функции одной переменной t в предположении, что переменные x и y также являются функциями от t, то есть при x = x(t) и y = y(t).

Полная производная вычисляется по формуле:

.  (4)

Здесь  – это полная производная функции z по переменной t при условии, что все другие переменные зависят от t;  – это частная производная функции z по переменной t при условии, что у функции есть другие независимые переменные, кроме t. При нахождении  зависимость переменных x, y от t не учитывается.

В полученный ответ следует подставить функции x = x(t) и y = y(t), чтобы выразить полную производную через независимую переменную t.

ЗАДАНИЕ для САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

 

1. Найти и построить множество точек определения функции:

а) ;  б) .

Указать свойства этих множеств.

2. Построить схематично график функции  на
множестве .

3. Построить график функции  на области ее определения.

Ответы. 1. а) точки полосы  выше и на прямой ; множество не открытое, связное, не ограниченное, не замкнутое;

 б) все точки шара с центром в  с радиусом ; множество не открытое, связное, ограниченное, замкнутое.

Свойства множеств следует не только перечислить, но и обосновать.

2.   – параболоид вращения, вершина на оси  в точке , расположен ниже плоскости ; ось симметрии – ось . Над кругом  "вырезается" криволинейная часть параболоида.

3.  – нижняя часть () конической
поверхности с осью симметрии – прямой  и вершиной .


Вычисление поверхностных интегралов