Вычислить массу дуги кривой Неопределенный интеграл Определенный интеграл Вычислить тройной интеграл Цилиндрические координаты Вычисление двойного интеграла Криволинейный интеграл Поверхностный интеграл Функция нескольких переменных

Примеры решения задач по математике 1-2 курса технического университета

С помощью двойного интеграла найти площадь фигуры, ограниченную заданными линиями. Сделать рисунок фигуры:

РЕШЕНИЕ

Вначале делаем рисунок фигуры (см. рисунок 5). Площадь плоской фигуры вычисляем по формуле (3). Если выбрать порядок интегрирования (у;х), то фигуру надо разбить на две частичные. Выберем порядок интегрирования(х;у)

3. ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ 4

Вычислить с помощью тройного интеграла обьём тела, ограниченного указанными поверхностями. Сделать рисунок данного тела и его проекции на плоскость хОу.

Примечания к построению рисунка тела. Плоскость в пространстве задаётся общим уравнением  вида

Ах + By + Cz + D = 0. Если D=0, то плоскость проходит через начало координат. Если равен нулю один из коэффициентов А,В.С, то плоскость параллельна оси отсутствующей переменной. Если два коэффициента из трёх (А, В, С) равны нулю, то плоскость параллельна координатной плоскости, проходящей через оси отсутствующих переменных.

Если уравнение поверхности не содержит одну из трёх независимых переменных, это является признаком того, что поверхность - цилиндрическая, с образующей, параллельной оси отсутствующей переменной. Заданное уравнение при этом -уравнение направляющей линии.

Уравнение сферы радиусом R с центром в начале координат имеет вид:

Рис.12 Область V и её проекция D к примеру выполнения задания 4,а

РЕШЕНИЕ

а) С учётом примечаний, определяем виды заданных поверхностей. Так уравнение z=0  определяет координатную плоскость хОу. Уравнение 2х + z = 4 - уравнение плоскости, проходящей параллельно оси Оу. Уравнения

задают две цилиндрические поверхности с образующими, параллельными оси Oz. Объёмное тело и его проекция на плоскость хОу показаны на рисунке 25. Объём тела определяем по формуле (15):

РЕШЕНИЕ

b) Одна из граничных поверхностей тела - цилиндрическая, так что проекцией тела на плоскость хОу является круг х2 + у2 = 9 радиусом 3. Две другие граничные поверхности - плоскости z = 0 z = у + 3 (рисунок 13, а). Для вычисления объёма тела применяем формулу (15) в цилиндрической системе координат:

Порядок интегрирования в цилиндрических координатах всегда один и тот жеv z, r, φ. Приведём тройной интеграл к повторному используя формулы (18) и вычислим:

РЕШЕНИЕ с) Две поверхности, ограничивающие тело - сферы с радиусом 1 и 2:

x2+у2 +z2 =1,

х2 +у2+z2 =4. 

В качестве остальных границ служат плоскости  z=0, у=х, х=0. Тело представлено на рисунке 13б. Для вычисления объёма применяем формулу (15) в сферической системе координат.

Применяя формулы (20), найдём уравнения границ тела и приведём тройной интеграл к повторному:

ЗАДАНИЕ для САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

 

1. .

2. Исследовать на локальный безусловный экстремум функцию , заданную неявно уравнением:

а) ; б) .

Ответы. 1. ; в точках , ,  требуются дополнительные исследования.

2. а) , , здесь
НУ: , значение  находим из самого

уравнения , т.е. , . Для применения достаточных условий существования экстремума следует найти дифференциал второго порядка функции  в каждой из точек  и ;

б) ,  – отрицательно определенная квадратичная форма относительно  и .


Вычисление поверхностных интегралов