Вычислить массу дуги кривой Неопределенный интеграл Определенный интеграл Вычислить тройной интеграл Цилиндрические координаты Вычисление двойного интеграла Криволинейный интеграл Поверхностный интеграл Функция нескольких переменных

Примеры решения задач по математике 1-2 курса технического университета

Приложение тройного интеграла

С помощью тройного интеграла наряду с другими величинами можно вычислить:

1) объём области V по формуле

2) массу m тела V переменной плотностью

по формуле


Вычисление тройного интеграла в декартовых и других координатах

ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ В ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТАХ.

Вычисление тройного интеграла сводится к последовательному  вычислению трёх однократных интегралов. При этом дифференциал объёма равен

произведению дифференциалов независимых переменных dv = dxdydz. Область интегрирования называется правильной, если прямая, проходящая через произвольную внутреннюю точку области интегрирования параллельно каждой оси координат пересекает границу области в двух точках. В правильной области можно выбрать любую последовательность интегрирования по переменным х, у, z. Вычисление начинается с построения рисунка области интегрирования по заданным уравнениям границ области. Выбрав первую переменную интегрирования, нужно построить проекцию области интегрирования на плоскость двух других переменных. Например, если первое интегрирование производится по переменной z, то будет нужна проекция области на плоскость хОу.

Пусть поверхность, ограничивающая область  V снизу, имеет уравнение

Z = F1(х,y) а поверхность, ограничивающая область V сверху Z = F2(х,y) (рисунок 21). Проекцию области V на плоскость хОу обозначим D. Она имеет уравнения границ y=y1(х) и y=y2(х) Тогда тройной интеграл по области V равен трёхкратному интегралу:

Рис.8

По формуле (17) можно сформулировать правило расстановки пределов в трёхкратном интеграле:

1. В пределах интеграла по первой переменной в общем случае стоят функции двух других переменных;

2. В пределах интеграла по второй переменной в общем случае стоят функции третьей переменной;

3. В пределах интеграла по третьей переменной всегда стоят числа, равные предельным значениям проекции области V на соответствующей оси.

В частном случае, когда границами области V являются плоскости, параллельные координатным плоскостям, в пределах всех однократных интегралов стоят постоянные.

Изучить покоординатную непрерывность и непрерывность по
совокупности переменных для функции 

  в точке .

Изучить поведение функции ,  в окрестности точек ,  и .

Вычислить пределы:

а)   и б) .

Ответы. 1. В точке  функция является непрерывной по  и
непрерывной по , но не является непрерывной по совокупности переменных.

2. Точка  – точка разрыва функции  и в окрестности точки функция неограничена; в точке  функция непрерывная (по совокупности переменных); всякая точка прямой  является точкой разрыва функции и   неограничена в окрестности такой точки, в том числе и для точки .

3. а) ; применяем теорему о произведении бесконечно
малой функции на ограниченную функцию;

 б) ; применяем второй замечательный предел.


Вычисление поверхностных интегралов