Матрицы Вычислить предел Неопределенный интеграл Производная функции Определенные интегралы Двойной интеграл Разложить в ряд Лорана Изменить порядок интегрирования Найти объем тела Вычислить криволинейный интеграл

Примеры решения задач по математике 1-2 курса технического университета

Предел последовательности

Примеры.

1. Вычислить  .

Решение: При n®¥ и числитель и знаменатель дроби стремятся к бесконечности. Говорят, что имеет место неопределенность вида .

Из трех слагаемых числителя быстрее всего возрастает слагаемое старшей степени, т.е. 3n2. Вынесем за скобки n2:

Аналогичным образом преобразуем знаменатель:

.

В целом получаем:

Заметим, что слагаемые  при n®¥ стремятся к 0 и, таким образом, после сокращения дроби на n2, имеем:

.

2. Вычислить .

Решение: Имеется неопределенность вида . Преобразуем дробь, вынеся за скобки старшую степень n в числителе и знаменателе:

.

3. Вычислить .

Решение: Имеется неопределенность вида . Преобразуем дробь:

4. Вычислить .

Решение: Имеется неопределенность вида . Преобразуем дробь, вынеся старшую степень из каждого множителя:

 

Геометрический смысл двойного интеграла.

Если z = f (x;y) непрерывна в области DR² и f (x;y) ≥ 0, то двойной интеграл от этой функции по области D равен объему цилиндроида, у которого нижнее основание – область , верхнее – часть поверхности z = f (x;y) и боковая поверхность цилиндроида параллельна 0Z, т.е.

Если  для любых , то двойной интеграл от z = 1 по области D равен площади области D:


Вычисление тройных интегралов