Вычислить массу дуги кривой Неопределенный интеграл Определенный интеграл Вычислить тройной интеграл Цилиндрические координаты Вычисление двойного интеграла Криволинейный интеграл Поверхностный интеграл Функция нескольких переменных

Примеры решения задач по математике 1-2 курса технического университета

Вычислить тройной интеграл , где

Решение

Запишем неравенствами область V в сферических координатах:

Пример 15

Найти объем, лежащий внутри сферы и снаружи конуса

Решение

Прейдем к сферическим координатам. Уравнение сферы будет выглядеть следующим образом: . Добавим к уравнению конуса справа и слева: .

Осуществим переход:

Сокращаем на и разрешаем относительно , получаем:

Чтобы найти объем вычисляем следующий интеграл:

Объем равен:

ТЕОРЕМА. Пусть функции  и  – дифференцируемы на
промежутке . Тогда на  справедлива формула

,  (*)

(аргумент функций опущен для простоты записи), называемая
формулой "интегрирование по частям".

В самом деле, имеем , откуда . Интегрируя обе части равенства, получим формулу (*). Произвольная постоянная интеграла  объединяется с произвольной постоянной интеграла   и поэтому в явном виде в формуле (*) не записана.

Значение формулы (*) состоит в том, что интеграл  
иногда удается представить в виде интеграла  так, что интеграл  вычисляется "проще", чем исходный интеграл.

Эффективность метода интегрирования по частям определяется умением правильно определить, для каких интегралов применима формула (*) и как наиболее рационально расчленить подынтегральное выражение  на произведение , т.е. как выбрать функции  и , чтобы идея интегрирования по частям была осуществлена. Приведем некоторые рекомендации такого выбора.

1. Существуют функции, производные которых являются более "простыми", чем сами функции: например, они легче интегрируются. Такими являются, в частности, функции

  и т.д.

Вместе с тем существуют функции, производные которых этими свойствами не обладают, среди них такие функции, как

  и т.д.

При вычислении интеграла методом интегрирования по частям рекомендуется в формуле (*) выбирать  так, чтобы переход
от   к  "упрощал", а переход от  к  "не усложнял"
подынтегральное выражение в интеграле .


Вычисление поверхностных интегралов