Вычислить массу дуги кривой Неопределенный интеграл Определенный интеграл Вычислить тройной интеграл Цилиндрические координаты Вычисление двойного интеграла Криволинейный интеграл Поверхностный интеграл Функция нескольких переменных

Примеры решения задач по математике 1-2 курса технического университета

Приложения определенного интеграла

Площадь плоской криволинейной трапеции.

Пример 13. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

.

Решение. Построим фигуру, площадь которой надо вычислить. Одной из линий является параболой с вершиной в точке С с координатами (3;4). Вторая линия - прямая.

Найдем координаты точек пересечения данных линий:

Для этого решаем систему уравнений , ее решением являются точки A(2;3), B(5;0).

Фигура ACB не является криволинейной трапецией, поэтому для вычисления площади данной фигуры рассмотрим разность площадей двух криволинейных трапеций: FACB и FAB.

Для вычисления площадей воспользуемся формулой:

, где a и b это пределы, в которых изменяется переменная х. В данном случае для обеих фигур a=2, b=5. Из чертежа видно, что для фигуры FACB . Вычислим площадь этой фигуры:

Для фигуры FAB , следовательно, имеем:

.

Площадь искомой фигуры будет равна: .

Пример 14. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией .

Решение. Построим данную кривую.

Полярные координаты точек кривой получаются заданием значений угла и вычислением значений   из равенства . Положение точки А на плоскости в полярной системе координат определяют расстоянием  от полюса 0 до точки и углом , образованным отрезком ОА с полярной осью.

Вычислим площадь данной фигуры по формуле:, где и  пределы, в которых лежит данная фигура. В нашем случае .

Подставляя все эти величины в формулу, получаем:

.

ТЕОРЕМА 2. Всякая правильная несократимая рациональная дробь может быть единственным образом представлена в виде суммы
конечного множества простейших дробей типа 1 – 4.

Разложение правильной дроби  на простейшие
дроби тесно связано с разложением знаменателя дроби  на простые действительные множители. Известно, что всякий многочлен с действительными коэффициентами разлагается (единственным образом) на множители вида  и , причем квадратичные множители не имеют действительных корней и поэтому не разложимы на линейные множители. Например, , здесь трехчлен  нельзя представить в виде произведения линейных множителей с действительными коэффициентами.

Объединяя одинаковые множители, запишем знаменатель в виде ,

причем, очевидно, .

Каждому множителю вида  соответствует сумма "" простейших дробей вида 1 и 2 , а каждому множителю вида  – сумма "" простейших дробей

вида 3 и 4  .

Поэтому разложение на простейшие дроби рассматриваемой  здесь дробно-рациональной функции  будет иметь вид (считаем ):

.

Способы отыскания введенных здесь и пока неизвестных
коэффициентов, объединенные названием "Метод неопределенных коэффициентов", покажем на конкретных примерах.


Вычисление поверхностных интегралов