Вычислить массу дуги кривой Неопределенный интеграл Определенный интеграл Вычислить тройной интеграл Цилиндрические координаты Вычисление двойного интеграла Криволинейный интеграл Поверхностный интеграл Функция нескольких переменных

Примеры решения задач по математике 1-2 курса технического университета

Определенный интеграл Вычисление определенного интеграла

Пример 9. Вычислить интеграл .

Решение. Для того, чтобы вычислить данный интеграл, воспользуемся основной тригонометрической заменой:

 

Так как данный интеграл является определенным, то при замене переменной , меняются пределы интегрирования:

.

На отрезке  по переменной t функция  непрерывно дифференцируема, монотонна и в границах его принимает значения границ отрезка  по переменной x. Следовательно, выбранная замена переменной правомерна. Получаем:

.

Несобственный интеграл.

Пример 10. Вычислить несобственный интеграл  или доказать его расходимость.

Решение. Перейдем от несобственного интеграла к определенному с границами .Далее считаем полученный интеграл, с помощью обычных правил интегрирования:

Пример 11. Вычислить несобственный интеграл  или установить его расходимость.

Решение. Так же, как и в предыдущем примере, перейдем от несобственного интеграла к определенному под знаком предела.

Замечание: когда , то .

Поэтому получаем, что , а это значит, что данный интеграл расходится.

Пример 12. Вычислить интеграл от разрывной функции  или установить его расходимость.

Решение. Данная подынтегральная функция имеет разрыв в точке х=0, поэтому разделим исходный интеграл на два несобственных интеграла, так как они будут представлять собой интегралы от разрывной функции в точке границы отрезка интегрирования.

.  (1)

Так как подынтегральная функция имеет разрыв на правом конце отрезка интегрирования, то переходим к следующей записи:

Таким образом, на отрезке  интеграл расходится, а следовательно расходится и исходный интеграл, так как равенство (1) справедливо только для сходящихся интегралов в правой части.

СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Свойства неопределенного интеграла базируются на свойствах дифференциала функции.

Напомним, что если  – дифференцируемая в точке  функция, то произведение

является дифференциалом функции  в точке  соответственно приращению аргумента .

Для дифференцируемых функций  и  правила действий над их дифференциалами аналогичны правилам вычисления производных (здесь и везде далее  – произвольное число), а именно:

;

;

;

.

Для первообразной  функции  из соотношения ,  имеем  или  – подведение функции  под дифференциал.


Вычисление поверхностных интегралов