Вычислить массу дуги кривой Неопределенный интеграл Определенный интеграл Вычислить тройной интеграл Цилиндрические координаты Вычисление двойного интеграла Криволинейный интеграл Поверхностный интеграл Функция нескольких переменных

Примеры решения задач по математике 1-2 курса технического университета

Неопределенный интеграл

Пример 3. Найти интеграл .

Решение. Воспользуемся формулой интегрирования по частям:

.

В выражении, стоящем под знаком интеграла, обозначим: , а .

По данным  и , для составления правой части формулы, вычисляем   и:

.

Составляем правую часть формулы интегрирования по частям, записывая вместо   их выражения.

Пример 4. Найти интеграл .

Решение. Отделим от нечетной степени один множитель: .

Если положить , то . Перейдем в интеграле к новой переменной t:

Возвратившись к прежней переменной, получаем: .

Пример 5. Найти интеграл  .

Решение. Понизим у  и  степень с помощью следующих формул: .

Тогда в исходном интеграле получим следующее:

Первый интеграл является табличным: , а во втором интеграле применим формулу понижения степени. Тогда искомый интеграл преобразуется к виду:

.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Множество всех первообразных для функции  на промежутке  называется неопределенным интегралом
функции  на  и обозначается символом .

Выражение  называется подынтегральным выражением,  – подынтегральной функцией,  – переменной интегрирования,  – произвольной постоянной. Процедуру отыскания
неопределенного интеграла функции называют интегрированием функции (будем говорить, что "интеграл вычисляется").

Если   – какая-либо первообразная функции  на , то в силу определения неопределенного интеграла и свойств первообразных имеем , , .

Для краткости это равенство записывается обычно в виде

.


Вычисление поверхностных интегралов