Вычислить массу дуги кривой Неопределенный интеграл Определенный интеграл Вычислить тройной интеграл Цилиндрические координаты Вычисление двойного интеграла Криволинейный интеграл Поверхностный интеграл Функция нескольких переменных

Примеры решения задач по математике 1-2 курса технического университета

Матричные уравнения

 Пример 15. Разложить матрицу  в произведение простейших. Выяснить, является ли матрица  обратимой, и в случае её обратимости найти матрицу , если .

 ◄ Решение основано на предложении 1.6 (см. пример 9). Приводим элементарными преобразованиями матрицу  к виду ,

.

  Матрица  обратима и удовлетворяет соотношению

.

Умножая полученное равенство справа на матрицу

,

  получаем, что

.

Теперь умножаем новое равенство на матрицу

  слева,

.

 Матрица  обратима и . Поэтому

).

  Откуда следует что

. ►

  16. Указать элементарные матрицы, отвечающие следующим элементарным преобразованиям матрицы размера :

.

  17. Каким элементарным преобразованиям матрицы размера   соответствуют элементарные матрицы:

,

, .

 18. В матрице  произвести элементарные преобразования умножением на соответствующие элементарные матрицы  или  ( соответствуют строчным преобразованиям,  – столбцовым):

 а) ,

.

  б) ,

,

.

  19. Элементарными преобразованиями привести матрицу к виду :

  а) , б) , в) , г) ,

д) , е) , ж) , з) .

 20. Матрицы из упражнения 19 разложить в произведение простейших.

 21. Выяснить, является ли матрица  обратимой, и в случае её обратимости найти матрицу . Матрица   имеет вид:

 а) , б) , в) .

Замечание. В следующей главе, основываясь на данном методе обращения матриц, мы построим более эффективную вычислительную схему для нахождения обратной матрицы, связанную с методом Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений.

ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИИ, ЕЕ СВОЙСТВА.

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ, ЕГО СВОЙСТВА

Ранее рассматривалось понятие производной функции, ее
геометрический смысл, свойства, правила нахождения. Во многих технических задачах требуется решение обратной задачи: отыскание функции по заданной ее производной функции. Например,
задача об определении закона прямолинейного движения  материальной точки по заданной ее скорости .

Решение сформулированной задачи основано на понятии
первообразной функции.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция , определенная на промежутке ,
называется первообразной функцией (или просто первообразной) для функции  на , если в любой точке этого промежутка функция  дифференцируема и имеет производную , равную .

Матричные уравнения Уравнение, называется матричным, если в качестве неизвестного оно содержит матрицу.

Найти матрицу , если .

  Пример Найти матрицу ,

Найти матрицу .


Вычисление поверхностных интегралов