Вычислить массу дуги кривой Неопределенный интеграл Определенный интеграл Вычислить тройной интеграл Цилиндрические координаты Вычисление двойного интеграла Криволинейный интеграл Поверхностный интеграл Функция нескольких переменных

Примеры решения задач по математике 1-2 курса технического университета

Умножение матриц

Скалярное умножение арифметических векторов

Пусть

 

два арифметических вектора порядка . Скалярным произведением этих векторов называется действительное число, которое обозначается  и находится по правилу

  (1.7)

В дальнейшем будем также считать, что скалярное произведение двух векторов-строк порядка  также вводится по формуле (1.7), т.е.

.

Рассмотрим основные свойства скалярного умножения арифметических векторов.

1) Скалярное произведение симметрично, т.е.для любых  и  из .

 ◄ Действительно,

ввиду коммутативности операций умножения в . ►

2) Скалярное произведение аддитивно по каждому из сомножителей, т.е.

для любых  из .

 ◄ Ввиду предыдущего свойства в доказательстве нуждается лишь одно из приведенных равенств. Покажем, например, справедливость первого равенства, где

Действительно,

. ►

3) Скалярное произведение однородно по каждому из сомножителей, т.е.

для любых действительных чисел  и любых векторов  и  из

Арифметический вектор  является линейной комбинацией векторов , если найдутся такие действительные числа , что

.  (1.8)

Из свойств 2) и 3) скалярного произведения следует, что если вектор  имеет вид (1.8), тогда

для любых векторов  из  и любых действительных чисел . Это свойство называется свойством линейности скалярного произведения по первому сомножителю. Аналогично имеет место свойство линейности скалярного произведения по второму сомножителю. В частности, если наряду с равенством (1.8) справедливо равенство

, где , тогда

.

4) Скалярное произведение  вектора  на себя называется скалярным квадратом вектора. Скалярный квадрат любого арифметического вектора есть число неотрицательное, т.е. . Причём равенство  выполняется лишь для

Ротор (вихрь) векторного поля. Теорема Стокса.

Определение. Ротором (или вихрем) векторного поля

  называется вектор, который в каждой точке дифференцируемости поля обозначается  и вычисляется следующим образом:

Теорема Стокса. Пусть в пространстве задан замкнутый гладкий контур C, являющийся границей поверхности S, заданной непрерывно дифференцируемой функцией. Ориентация поверхности S согласуется с направлением обхода контура C «по правилу винта»: вектор нормали в каждой точке поверхности S направлен так, что если смотреть с конца вектора, то обход контура C наблюдается против часовой стрелки (в этом случае направление вектора нормали считается положительным). Тогда справедлива формула: 

Эта формула устанавливает связь между криволинейным интегралом II рода по замкнутому контуру (т.е. циркуляцией вектора ) с поверхностным интегралом II рода от векторного поля  по поверхности S, ориентированной с обходом контура C «по правилу винта» (т.е. с потоком вектора  по поверхности, натянутой на контур C).

Сложение матриц Операция сложения определена лишь для матриц одинакового размера

Для того чтобы, существовало произведение   необходимо выполнение условия согласования , т.е. число столбцов матрицы  должно совпадать с числом строк матрицы  (или порядок строк матрицы  должен совпадать с порядком столбцов матрицы ).

Рассмотрим основные свойства умножения матриц

Теория делимости квадратных матриц Выше мы убедились, что арифметические операции над матрицами, прежде всего в части умножения, отличаются по своим свойствам от аналогичных операций над числами. Однако наиболее существенные отличия связаны с операцией деления.

Основные типы алгебраических структур Пример. Множество  является мультипликативной группой, т.е. операция умножения матриц определяет на этом множестве структуру группы. Элементарные преобразования над матрицами и элементарные матрицы

Нашей ближайшей целью является доказательство того, что любая матрица с помощью элементарных преобразований может быть приведена к некоторым стандартным видам. На этом пути полезным является язык эквивалентных матриц.

Пример Построить матрицу  приведённого вида,

Разложение матрицы в произведение простейших

1-й критерий обратимости матрицы. Для того, чтобы матрица  была обратимой, необходимо и достаточно, чтобы она была представима в виде произведения элементарных матриц. Достаточность. Элементарные матрицы обратимы, а произведение обратимых матриц есть матрица обратимая. Поэтому утверждение “матрица, представимая в виде произведения элементарных матриц, обратима очевидно.


Вычисление поверхностных интегралов