Матрицы Вычислить предел Неопределенный интеграл Производная функции Определенные интегралы Двойной интеграл Разложить в ряд Лорана Изменить порядок интегрирования Найти объем тела Вычислить криволинейный интеграл

Примеры решения задач по математике 1-2 курса технического университета

С помощью дифференциала функции вычислить приближённо   при x = 7,76.

РЕШЕНИЕ.

Найдём дифференциал функции y(x) = в точке x: dy= y¢(x)dx = dx. Найдём рядом с точкой x=7,76 точку x0 , в которой значение вычислялось бы точно. Для этой роли подойдёт точка x0=8. По определению дифференциала

y(x0+x) = y(x0) + dy(x0)+o(x)

или в других обозначениях

y(x) = y(x0) + dy(x0)+o((xx0)), x = dx = x  x0 .

Отсюда получаем формулу для приближённых вычислений

y(x)y(x0) + y¢(x0)( x  x0).

В нашей задаче +(7,76  8) 2+=1,98.

Ответ. 1,98.

ЗАДАНИЯ 19-20. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

19) ; 20) (ln2cos x·ln sin x3).

РЕШЕНИЯ.

19) . Имеет место неопределённость (). Правило Лопиталя применяется для раскрытия неопределённостей (0/0) или (¥¥). Поэтому сначала логарифмированием сведём заданную неопределённость к одной из указанных двух:

==

использована непрерывность функции экспонента: переставлены знаки функции и предела. Запишем выражение в скобках в виде дроби; получится неопределённость (0/0).

Напоминаем формулировку правила Лопиталя: если существует предел конечный или бесконечный, то

а) существует и предел ;

б) эти два предела одинаковы естественно, функции f(x) и g(x) должны быть дифференцируемы в окрестности точки x0 всюду, кроме, возможно, самой точки x0 , точка x0 в понятии предела не рассматривается; производная функции g(x) не должна равняться нулю.

Применение правила Лопиталя производится в форме

=.

Цепочка при необходимости может быть продолжена = и так далее. И ещё одно замечание: правило Лопиталя верно и для односторонних пределов, и для пределов на бесконечности. Решаем свою задачу

==.

Мы нашли предел в показателе экспоненты.

Ответ. = e2.

20) (ln2cos x·ln sin x3). Имеет место неопределенность (). Для того, чтобы преобразовать её в (0/0) или , перенесём один из множителей в знаменатель, записав его в степени 1. В нашем случае лучше перенести первый множитель:

(ln2cos x·ln sin x3) = = (0/0) = =.

На примере этой задачи хорошо видно, что, ориентируясь, в основном, на применение правила Лопиталя, не нужно забывать о других приёмах, облегчающих вычисление пределов; иначе нагромождение формул очень затруднит или сделает невозможным выяснение характера неопределённости. В нашем случае во всех множителях, не дающих в пределе 0 или ¥  у нас это множители cos x3 и 1/cos x , нужно перейти к пределу, а также  заменить множители sin x и

sin x3 на эквивалентные им более простые множители x и x3. Получим

==.

Делая попытку применить теорему о пределе частного, увидим, что неопределённость сохранилась, это снова (0/0). Применяем правило Лопиталя ещё раз:

== ln2cos x=0.

Ответ. (ln2cos x×ln sin x3) = 0.

Поверхностные интегралы.

1. Поверхностный интеграл I рода.

Пусть функция  непрерывна на гладкой поверхности S, заданной функцией  непрерывно дифференцируемой в каждой точке области DR2. Поверхностным интегралом I рода от функции  по поверхности S называется предел интегральной суммы  при условиях:

1)  и (стягиваясь в точку),

2) этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения поверхности S на n частей, ни от выбора точек  на этих частях,

где   – площадь i-той части поверхности  – дифференциал поверхности S, вычисляемый по формуле:  

Если проекция поверхности  S на плоскость OXY однозначна и совпадает с областью D, то поверхностный интеграл I рода вычисляется по формуле:

Замечание 1. Если прямая, параллельная оси OZ и проходящая через внутреннюю точку области D, пересекает поверхность S в более чем одной точке, то поверхность S разбивается на части так, чтобы прямая параллельная OZ пересекала S только в одной точке. И интегрирование следует выполнить по каждой из полученных частей.

Замечание 2. Поверхностный интеграл I рода не зависит от того, по какой стороне поверхности он берется.


Вычисление тройных интегралов