Матрицы Вычислить предел Неопределенный интеграл Производная функции Определенные интегралы Двойной интеграл Разложить в ряд Лорана Изменить порядок интегрирования Найти объем тела Вычислить криволинейный интеграл

Примеры решения задач по математике 1-2 курса технического университета

Исходя из определения производной, найти f ¢(0) для f(x)=

РЕШЕНИЕ.

По определению f ¢(x0)=. Запишем в других обозначениях, введя переменную x=x0+x и заменив x на x  x0:

f ¢(x0) = . В нашем случае x0=0 и f(x0)=0, поэтому

f ¢(0)=. В понятии предела сама точка x0=0 не рассматривается, поэтому берем f(x)= . При вычислении пределов в задачах под номером 12 необходимо использование эквивалентных бесконечно малых при x0. Напоминаем их:

 x ~ sin x ~ arcsin x ~ tg x ~ arctg x ~ ln(1+x) ~ ex 1; loga(1+x) ~ x loga e = x / lna;

ax 1 ~ x lna; (1+x)1 ~ xпри любом действительном ; 1 cos x ~ x2/2.

В нашем случае x sin=0 произведение бесконечно малой на ограниченную поэтому arctg(x sin) ~ (x sin) и

  ~ arctg(x sin),

так как y= arctg(x sin) – бесконечно малая приx0 и

  = 1 = (1+y)1 ~ (1/2)y.

Применяя полученные результаты, вычисляем предел

f ¢(0) = = = sin.

Делаем вывод: предел не существует, так как sin t при t не стремится к одному определенному значению, а изменяется от –1 до 1 на любом интервале вида (b, ¥).

Ответ. Производная f ¢(0) у заданной функции f(x) не существует.Заметим, что f(x) является непрерывной в точке x0=0, поскольку из факта xsin=0 следует  = 0, что совпадает со значением функции в точке, заданным в условии задачи.

Пример. Найти потенциальную функцию  по ее полному дифференциалу: 

Проверим условие полного дифференциала:

  – выполняется

Способ 1. Если , то

Следовательно, 

Способ 2. выберем в качестве пути интегрирования ломаную OCB, где  (рис. 4) 

Итак:   C – произвольная постоянная.


Вычисление тройных интегралов