Матрицы Вычислить предел Неопределенный интеграл Производная функции Определенные интегралы Двойной интеграл Разложить в ряд Лорана Изменить порядок интегрирования Найти объем тела Вычислить криволинейный интеграл

Примеры решения задач по математике 1-2 курса технического университета

Убедиться в потенциальности поля вектора ,

найти потенциал  поля и вычислить работу этого поля при перемещении точки единичной массы от точки  до точки .

РЕШЕНИЕ.

Для поля , заданного в односвязной области, критерием потенциальности служит равенство нулю вихря этого поля. Вычислим:

, т.е. поле потенциально. Восстановим потенциал поля. Это можно сделать по формуле

или по одной из аналогичных ей пяти формул, отражающих движение от точки   к точке  вдоль отрезков, параллельных осям координат, по той, которая упрощает вычисление интегралов. По приведенной выше формуле получим

=

.

Потенциал поля определяется с точностью до постоянной. В потенциальном поле работа равна приращению потенциала, т.е. разности значений потенциала в двух точках и не зависит от формы пути перемещения материальной точки:

.

Ответ. .

Потенциальное поле, потенциальная функция и ее вычисление.

Определение 6. Векторное поле  называется потенциальным, если  не зависит от пути, соединяющему точки A и B.

Если  не зависит от пути интегрирования, то

При этом функция  называется потенциальной функцией поля .

Вычисление потенциальной функции.

Если , то существует функция , для которой . Для вычисления функции  используем криволинейный интеграл не зависящий от пути интегрирования. Путь AB выбираем любой, соединяющий точки  и ; например, ломаную линию ACB, где  (рис. 3). Тогда:

Итак,  


Вычисление тройных интегралов