Матрицы Вычислить предел Неопределенный интеграл Производная функции Определенные интегралы Двойной интеграл Разложить в ряд Лорана Изменить порядок интегрирования Найти объем тела Вычислить криволинейный интеграл

Примеры решения задач по математике 1-2 курса технического университета

Вычислить расходимость (дивергенцию) и вихрь (ротор) в произвольной точке , а также найти уравнения векторных линий поля градиентов скалярного поля .

РЕШЕНИЕ.

1. По заданному скалярному полю   построим поле его градиентов

.

Дивергенция (расходимость) векторного поля  в декартовой системе координат вычисляется по формуле

и для поля  получим

.

Убедимся, что  (т.е. что поле градиентов – безвихревое поле);   вычисляется как символический определитель третьего порядка

  .

Для поля градиентов

2. Уравнение векторных линий поля  определяется системой дифференциальных уравнений, которая в симметрической форме имеет вид

.

Запишем эту систему для заданного поля :

.

Ответ.  .

Свойства криволинейного интеграла II рода.

1) Интеграл II рода изменяет знак на противоположный при изменении направления пути интегрирования:

2)

Остальные свойства аналогичные свойствам интеграла I рода.

Физический смысл криволинейного интеграла II рода.

Интеграл  равен работе, совершаемой при перемещении материальной точки единичной массы из точки A в точку B по кривой l в силовом поле, создаваемом вектором


Вычисление тройных интегралов