Матрицы Вычислить предел Неопределенный интеграл Производная функции Определенные интегралы Двойной интеграл Разложить в ряд Лорана Изменить порядок интегрирования Найти объем тела Вычислить криволинейный интеграл

Примеры решения задач по математике 1-2 курса технического университета

Вычислить массу дуги кривой () при заданной плотности :

1)  

2) (.

3) (.

РЕШЕНИЕ.

1) Рассматривается случай параметрического задания кривой (). Массу плоской кривой можно вычислить с помощью криволинейного интеграла первого рода: . Для вычисления его нужно свести к определенному интегралу от функции одной переменной по отрезку по формуле:

.

Найдем  ,

, так как для  функция .  Вычислим массу  с помощью определенного интеграла:

=

Ответ. =256.

2) Кривая () задана явным выражением. В случае явного задания кривой криволинейный интеграл первого рода сводится к определенному следующим образом  :

.

Найдем  .

Для массы  получим:

.

Ответ. .

3) Наконец, рассмотрим случай кривой, заданной в полярной системе координат, в этом случае масса  может быть определена по формуле

.

Вычислим

Для определения массы кривой получим определенный интеграл

.

Ответ. =.

Криволинейный интеграл II рода (по координатам)

Пусть в пространстве  задана дуга AB гладкой кривой l и на этой дуге AB задано векторное поле

Точками  дуга AB разбита на n произвольных дуг  на каждой из которых произвольно взяты точки . Концы дуг соединены отрезками прямых, на которых выбрано направление, т.е. образованы векторы:   каждый из которых имеет координаты:  

Составим сумму скалярных произведений векторов

Определение 3. Сумма  называется интегральной суммой для векторной функции  по дуге AB кривой .


Вычисление тройных интегралов