Матрицы Вычислить предел Неопределенный интеграл Производная функции Определенные интегралы Двойной интеграл Разложить в ряд Лорана Изменить порядок интегрирования Найти объем тела Вычислить криволинейный интеграл

Примеры решения задач по математике 1-2 курса технического университета

Найти массу пластинки

(): ,

Плотность массы пластинки 

РЕШЕНИЕ.

 Область () – это часть эллиптического кольца (на рис.78 область () заштрихована). Массу плоской области можно вычислить по формуле

.

Подставляя заданную плотность  в двойной интеграл, для массы получим

.

Рис.78

 Очевидно, что область  () не является ни -, ни - трапецией; при вычислении двойного интеграла в декартовой системе координат область () пришлось бы разбить на три области. Как для областей, заключенных между концентрическими окружностями с центром в начале координат “родной” является полярная система координат, так и для эллиптических колец “своей “ является эллиптическая система координат (обобщенная полярная система координат)

.

Выбор  обусловлен соображениями удобства при вычислении интегралов. Положим для заданной области :

.

Якобиан преобразования вычисляется по формуле .

Совершим преобразование области  (): уравнение эллипса  перейдет в , т.е.   эллипс преобразуется в

окружность радиуса 1; эллипс  переходит в окружность ; прямая   в луч , прямая   в луч  (действительно,  и ). Запишем двойной интеграл в обобщенной полярной системе координат:

.

В данном случае повторный интеграл есть произведение двух определенных интегралов, так как внутренний интеграл по  есть скаляр. Вычислим их:

;

.

Таким образом, .

Ответ. Масса пластинки равна 1.

Основные свойства криволинейного интеграла I рода.

1) Криволинейный интеграл I рода не зависит от направления пути интегрирования:

2) Если дугу l интегрирования разбить на две части  и , то:

 

3)

4)

  где k=const.

5) Если  для любой точки кривой AB, то  – длина кривой AB.


Вычисление тройных интегралов