Матрицы Вычислить предел Неопределенный интеграл Производная функции Определенные интегралы Двойной интеграл Разложить в ряд Лорана Изменить порядок интегрирования Найти объем тела Вычислить криволинейный интеграл

Примеры решения задач по математике 1-2 курса технического университета

Найти объем тела, ограниченного указанными поверхностями.

 Приведем решение двух задач на вычисление объемов тел, рассматривая тела с различной геометрией поверхности.

1) ,

2)   .

РЕШЕНИЕ.

 1). Тело  ограничено двумя поверхностями: параболоидом   и плоскостью . Изобразим это тело на чертеже (рис.75).

Рис.75

 Данное тело является -цилиндрическим брусом (рис.72); боковая поверхность выродилась в линию пересечения заданных поверхностей. Найдем область, в которую тело проектируется на плоскость , для чего из уравнений поверхностей, ограничивающих тело, следует исключить переменную  (т.е. совершить ортогональное проектирование):

  и .

Таким образом, областью  () является круг с центром в точке (0; 1) радиуса =1  (см. рис.75).

 Объем тела может быть вычислен с помощью тройного интеграла по формуле . В декартовой системе координат тройной интеграл записывается через повторный следующим образом:

,

откуда видно, что его вычисление сопряжено со значительными трудностями (на завершающей стадии вычисления повторного интеграла).

 Запишем интеграл в цилиндрической системе координат , с которой декартова система связана формулами

.

Якобиан  преобразования . Формула перехода (в интеграле) имеет вид

.

В нашем случае

.

Запишем уравнения параболоида и плоскости в цилиндрической системе координат:

.

Для окружности  имеем ; угол , очевидно, необходимо менять в пределах от 0 до . Таким образом ,

 

===.

Ответ. =.

 2) Изобразим тело , ограниченное поверхностями цилиндра , параболоида  и плоскостью  (рис.76).

Рис.76

  Замечание. При построении следует преобразовать уравнение направляющей цилиндра  , лежащей в плоскости  к каноническому виду (прибавляя и вычитая 2): , откуда получим , то есть направляющей цилиндра в плоскости  служит окружность с центром в точке  радиуса . Кроме того, при построении следует учесть, что поверхность параболоида пересекается с плоскостью  по окружности . Тело  является z-цилиндрическим брусом, проектирующимся на плоскость  в область (), являющуюся -трапецией.

Нетрудно убедиться, что и здесь, как и в предыдущем случае, повторный интеграл, записанный в декартовой системе координат, при вычислении требует значительных усилий; поэтому и в этом случае перейдем к цилиндрической системе координат (см. предыдущую задачу):

.

Найдем уравнения поверхностей, ограничивающих тело, в цилиндрической системе координат: уравнение цилиндра  перейдет в , уравнение параболоида  – в , плоскости  – в . Область (), являющаяся проекцией тела на плоскость , ограничена окружностью   и окружностью  (так как ). Найдем значения параметра , соответствующие точкам пересечения этих окружностей: , откуда  и для  получим два значения: . Учитывая симметрию тела  относительно плоскости , объем  запишем в виде следующего повторного интеграла:

.

Приведем вычисление объема:

=

=

=.

Ответ. .

 Формула Грина.

Теорема. Пусть C – граница замкнутой области  и функции P (x;y), Q (x;y),  и  непрерывны в области D. Тогда справедлива формула Грина: ,

где обход контура C осуществляется против часовой стрелки.

Доказательство: Считаем область D правильной в направлениях 0X и 0Y (рис.1).

  рис.1

Пусть кривая AMB – график функции  – дуга AMB,

 кривая ANB – график функции – дуга ANB,

 кривая MAN - график функции  – дуга MAN,

 кривая MBN - график функции – дуга MBN

Вычислим

Аналогично вычислим

Вычитаем (1) из (2), получим:

Используя свойства двойного и криволинейного интегралов, можно записать:

Теорема доказана.


Вычисление тройных интегралов