Матрицы Вычислить предел Неопределенный интеграл Производная функции Определенные интегралы Двойной интеграл Разложить в ряд Лорана Изменить порядок интегрирования Найти объем тела Вычислить криволинейный интеграл

Примеры решения задач по математике 1-2 курса технического университета

Изменить порядок интегрирования в интеграле .

РЕШЕНИЕ.

  Восстановим область интегрирования () по пределам повторных интегралов: =1È2,

(1):  ;

(2): 

Изобразим область интегрирования на чертеже. Найдем точки пересечения параболы   и прямой :  т.е. точкам пересечения кривых соответствуют точки, для которых  и . Вертикальной штриховкой покажем порядок интегрирования: сначала по y при фиксированном x. Сменим штриховку на горизонтальную. Из рисунка видно, что данная область является -трапецией.

Рис.73

Уравнение “нижней” кривой есть , “верхней” - прямая . Поэтому ():  и в результате подстановки пределов получим следующий повторный интеграл:

Ответ. 

ЗАДАНИЕ 6. Найти объем тела, ограниченного поверхностями

 .

РЕШЕНИЕ.

 Тело  ограничено с “боков” плоскостью  и цилиндром (цилиндрической поверхностью)  . “Снизу” тело “накрыто” плоскостью , сверху – плоскостью . Изобразим на чертеже заданное тело (рис.74).

Рис.74

Очевидно, тело  есть - цилиндрический брус. Область (), являющуюся ортогональной проекцией тела  на плоскость , изобразим на отдельном рисунке. Для этого найдем точки пересечения параболы  с прямой . Опуская подробности вычислений, получим, что прямая и “положительная” ветвь параболы пересекаются в точке, в которой . Объем цилиндрического бруса может быть найден с помощью двойного интеграла. Учитывая, что тело “стоит” на плоскости  , для объема запишем формулу  и перейдем к повторному интегралу. Область (), изображенная на рисунке, очевидно не является - трапецией, но является - трапецией:

(): .

 Записав объем через повторный интеграл и производя вычисления, последовательно получим

V=.

Ответ. Объем тела равен 80.

3) Вычислить работу силового поля  при перемещении материальной точки вдоль верхней половины эллипса  из точки A (a;0) в точку B (-a;0).

  

Замечание 2. Если кривая l , по которой проводится интегрирование, является замкнутой, то A= B (начало пути совпадает с его концом). Тогда путь интегрирования называют контуром и обозначают буквой C. При этом криволинейный интеграл обозначают:

с указанной стрелкой направления интегрирования. В таком случае интеграл называют циркуляцией вектора  по замкнутому контуру. Если стрелки нет, то вычисляют интеграл против часовой стрелки (положительное направление).


Вычисление тройных интегралов