Матрицы Вычислить предел Неопределенный интеграл Производная функции Определенные интегралы Двойной интеграл Разложить в ряд Лорана Изменить порядок интегрирования Найти объем тела Вычислить криволинейный интеграл

Примеры решения задач по математике 1-2 курса технического университета

Задание 6. Проверить, может ли функция  быть действительной частью некоторой аналитической функции , если да – восстановить ее, при условии .

Решение.

Найдем частные производные:

Следовательно,

, .

Таким образом, функция  гармоническая в плоскости , и, значит существует такая аналитическая в  функция , что .

В силу условий Коши-Римана имеем:

 (1)

  (2)

Интегрируем уравнение (1) по переменной у, находим мнимую часть с точностью до слагаемого :

.  (3)

Продифференцируем (3) по х:

Сопоставляя результат с (2), получаем , откуда .

Таким образом, имеем

  и

Учитывая условие , получаем .

Итак,

Некоторые приложения двойного интеграла.

1) Площадь плоской области D:

2) Объем цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью , снизу областью D на плоскости 0XY, сбоку цилиндрической поверхностью, параллельной оси 0Z:

.

3) Площадь поверхности z = f (x;y) :

,

где D – проекция данной поверхности на 0XY.

4) Масса пластинки, занимающей область D плоскости 0XY и имеющей плотность :

.

При этом статистические моменты пластинки, относительно осей 0X и 0Y:

; .

5) Координаты центра тяжести пластинки:

 ; .

В случае однородной пластинки  координаты центра тяжести однородной пластинки:

  , .


Вычисление тройных интегралов