Матрицы Вычислить предел Неопределенный интеграл Производная функции Определенные интегралы Двойной интеграл Разложить в ряд Лорана Изменить порядок интегрирования Найти объем тела Вычислить криволинейный интеграл

Примеры решения задач по математике 1-2 курса технического университета

Задание 4. Определить вид кривой .

Решение.

.

Откуда

Выразим  из каждого уравнения:

Исключим  из уравнений:

.

,

, ,

,

  - уравнение гиперболы.

Задание 5. Построить область плоскости , определяемую данными неравенствами:

  а).

 б).

а). Искомым множеством является пересечение кольца   и внутренней части угла :

б).  Кривую  запишем в декартовых координатах:

Итак, .

Или ,

  - Лемниската Бернулли.

Неравенство  определяет точки, лежащие на лемнискате и внутри ее. Неравенство  определяет точки, лежащие правее прямой Искомым множеством является пересечение этих областей:

Криволинейные интегралы.

1. Криволинейный интегралы I рода (по длине дуги).

Пусть функция z = f (x; y) определена и непрерывна в точках дуги  AB гладкой кривой l, имеющей уравнение .

Разобьем дугу AB произвольным образом на n дуг точками  пусть  – длина дуги  На каждой из n дуг выберем произвольно точку и умножим значение функции в этой точке на длину.

Определение 1. Интегральной суммой для функции f (x; y) по дуге AB называется сумма вида:

Определение 2. Криволинейным интегралом от функции f (x; y) по дуге AB (или криволинейным интегралом I рода) называется предел интегральной суммы  при условиях:

1)  и  

2) этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения дуги AB на части, ни от выбора на каждой из частей точек  

.


Вычисление тройных интегралов