Матрицы Вычислить предел Неопределенный интеграл Производная функции Определенные интегралы Двойной интеграл Разложить в ряд Лорана Изменить порядок интегрирования Найти объем тела Вычислить криволинейный интеграл

Примеры решения задач по математике 1-2 курса технического университета

Линейные уравнения и уравнения Бернулли.

Уравнения в полных дифференциалах.

Задания для подготовки к практическому занятию

Примеры: Даны ОДУ 1-го порядка. Определить их тип (если возможно):

 а); б); в) 

 г) ; д)

а) Уравнение дано в дифференциальной форме. Оно не является уравнением с разделяющимися переменными и однородным. Представим его в нормальной форме, разрешив относительно . Это линейное уравнение (относительно у), в котором .

б) Легко видеть, что уравнение не является уравнением с разделяющимися переменными и однородным. Представим его в нормальной форме, разрешив относительно . Очевидно, оно не является линейным относительно у, так как переменная у входит в него не как множитель первой степени. Но мы можем также разрешить это уравнение относительно . Это уравнение является линейным относительно х, причем .

в) Уравнение не является уравнением с разделяющимися переменными или однородным. Разрешим его относительно . В правую часть полученного уравнения у входит дважды: как множитель 1 степени и как множитель степени –2. Следовательно, это уравнение Бернулли относительно у, причем a=-2

г) Нетрудно убедиться, что уравнение не относится к уравнениям с разделяющимися переменными, однородным (и приводящимся к ним), линейным или уравнениям Бернулли. Проверим, не является ли оно уравнением в полных дифференциалах. Здесь

.

Найдем частные производные этих функций по у и по х соответственно:

. Очевидно, , то есть данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

д) Снова проверим, не является ли данное уравнение уравнением в полных дифференциалах, поскольку к остальным известным нам типам оно не принадлежит. Здесь .

. Полученные выражения не совпадают, следовательно, это не уравнение в полных дифференциалах. Однако

 - не зависит от у, следовательно, легко подобрать интегрирующий множитель и привести данное уравнение к уравнению в полных дифференциалах (см. с.15)

Вопросы и задачи

п1. Определить, если возможно, тип уравнений:

 а) ; б) ; в) ;

 г) ; д)

Задачи к практическому занятию

1.;  2.; 3.;

4.;  5.;

6. ; 7.;

8.;  9.;

10.; 11.. 12.;

13.; 14.

Замечание 1. При сведении тройного интеграла к трем повторным интегралам не обязательно проецировать область D на плоскость 0XY, можно проецировать либо на 0XZ, либо на 0YZ – как удобнее.

Замечание 2. Следует сначала вычислять внутренний интеграл по z, считая x и y постоянными, а затем вычислять двойной интеграл от полученной функции   по области G, тогда:

Пример.  Вычислить  где

 D: 1) x+ y+ z = 1 – плоскость, пересекает

 оси координат в точках (1;0;0), (0;1;0) и (0;0;1).

 2) x = 0 – плоскость 0ZY,

  y = 0 – плоскость 0XZ,

 z = 0 – плоскость 0XY.

 рис.2

Итак: D – треугольная пирамида с основанием AOB и вершиной в точке C.

Пр– треугольник AOB.

G:

  рис.3.

Ответ: .


Вычисление тройных интегралов