Матрицы Вычислить предел Неопределенный интеграл Производная функции Определенные интегралы Двойной интеграл Разложить в ряд Лорана Изменить порядок интегрирования Найти объем тела Вычислить криволинейный интеграл

Примеры решения задач по математике 1-2 курса технического университета

ОДУ первого порядка.

Уравнения с разделяющимися переменными и однородные уравнения

Примеры: Даны ОДУ 1-го порядка. Определить их тип (если возможно):

  а) ; б) ; в)

 г);

 д)

а) Запишем уравнение в дифференциальной форме. Для этого умножим обе его части на dx, учитывая что , получаем: . Левую часть полученного уравнения раскладывается на множители:

. Очевидно, это уравнение с разделяющимися переменными, т.к. если разделить обе его части на , то все у соберутся слева, а все х – справа.

б) Запишем уравнение в дифференциальной форме, умножив на dx:

. Поскольку функция в правой части уравнения не раскладывается в произведение, это уравнение не является уравнением с разделяющимися переменными. Но его нормальная форма (которая и дана в задании) соответствует уравнению, приводящемуся к уравнению с разделяющимися переменными при помощи подстановки z=y-x (см замечание на с.8)

в) Запишем уравнение в дифференциальной форме, умножив на dx:

  и соберем все слагаемые с dx в правой части, приведя подобные слагаемые:. Очевидно, это уравнение с разделяющимися переменными (следует разделить обе части уравнения на )

г) Предложенное уравнение записано в дифференциальной форме. Поскольку функции, входящие в него, не раскладывается на множители, это не уравнение с разделяющимися переменными. Но они являются однородными (т.к. все слагаемые в них одной степени), поэтому данное уравнение – однородное (и приводится к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой )

д) Предложенное уравнение записано в дифференциальной форме и, очевидно, не является уравнением с разделяющимися переменными. Это также не однородное уравнение, так как в него входят слагаемые как степени 1, так и степени 0. Запишем это уравнение в нормальной форме, выразив . Согласно замечанию на с.10, это уравнение приводится к однородному.

Вопросы и задачи:

п1. Дано дифференциальное уравнение:. Являются ли решениями этого уравнения функции:

  а) ; б) ; в) ?

 Можно ли утверждать, что приведено общее решение данного уравнения?

п2. Из приведенных уравнений выберите ОДУ 1-го порядка. Запишите их в дифференциальной форме и в виде уравнения, разрешенного относительно производной:

 а); б); в);

 г); д); е);

 ж); з); и)

п3. Укажите среди уравнений из п2 уравнения с разделяющимися переменными; приводящиеся к ним; однородные уравнения; приводящиеся к однородным (если есть)

Задачи к практическому занятию

1.;  2.; 3.;

4.;  5.;

 6.;  7.;

8.;  9.; 10.

11.; 12.;

13.; 14.

Любую кривую y=f(x), заданную в декартовой системе координат можно задать в полярной системе уравнением =(), которое можно получить непосредственно, исходя из геометрических свойств этой кривой, либо с помощью формул перехода от прямоугольных координат к полярным.

Элементарной областью D в полярной системе координат считают криволинейный сектор, ограниченный двумя лучами, исходящими из полюса под углами  и к оси 0x (= и =), и кривой =() (рис.8)

 рис.8

Определение. Область D в полярной системе координат называется правильной, если любой луч, исходящий из полюса и проходящий через внутреннюю точку области D, пересекает границу области D только в двух точках (рис.9)

 

 

 Рис.9

Замечание 1. Если полюс 0 лежит вне области D, то правильную область D в полярной системе координат можно описать, как область, ограниченную двумя лучами = и = (<) и кривыми

  и  () при )


Вычисление тройных интегралов