Вычислить массу дуги кривой Неопределенный интеграл Определенный интеграл Вычислить тройной интеграл Цилиндрические координаты Вычисление двойного интеграла Криволинейный интеграл Поверхностный интеграл Функция нескольких переменных

[an error occurred while processing this directive]

Обратная функция , ее свойства

Подпись:  ПРИМЕР. Для функции найти обратную функцию; рассмотреть графики прямой и обратной функций.

РЕШЕНИЕ. Обозначим , ; из этого уравнения находим ; видим при этом, что для всякого  существует единственное значение , т.е. – обратная функция. Графики функций и совпадают; это прямая . Заметим, что имеем тождества и на .

Для обратной функции проводим переобозначение
переменных:   заменяем на ,  заменяем на , получаем – функцию, у которой независимая переменная изображается на оси , а значение функции – на оси .

В нашем примере переобозначение переменных приводит к функции , её график симметричен графику исходной функции относительно прямой (см. рисунок).

Итак, для нахождения обратной функции для , следует решить (если возможно) уравнение   относительно , , а затем переобозначить переменные.

Функции и называются взаимно-обратными, их графики симметричны относительно прямой .

Достаточное условие существования обратной функции:

если 1)  – непрерывна на промежутке ;

2)   – строго возрастает (или строго убывает) на промежутке ,

то на соответствующем промежутке значений функции  существует однозначная обратная функция , , , также непрерывная на  и строго монотонная на  (с сохранением характера монотонности).

Доказательство этого утверждения приведено подробно,
например, в [2].

Замечаем, что в условиях утверждения свойства "прямой"
(исходной) функции переносятся на обратную функцию.

Дифференцируемость обратной функции:

если 1) функция  обратима в некоторой окрестности
точки , ; , ;

 2) функция  дифференцируема в точке , т.е. существует ,

то для обратной функции  существует производная  и выполняется равенство  или .

В самом деле, рассмотрим отношение  при  – произ-вольном, , ; получаем

.

Поскольку  – непрерывна в точке  (следует из ее дифференцируемости в точке ), то и обратная функция  – непрерывна в соответствующей точке , т.е.  и  одновременно. И тогда существование предела  определяет существование предела , причем  (по теореме о переходе к пределу в равенстве).

Формула дифференцирования обратной функции

предполагает выполнимость условий рассмотренной теоремы в
точке , а также равенства: ; ; ,  на ;  на .

3.3. ФОРМУЛЫ ПРОИЗВОДНЫХ КОНКРЕТНЫХ ФУНКЦИЙ

Степенная функция , ,  – любое.

.

Итак, .

Для сложной степенной функции имеем формулу производной

или для запоминания

.

Показательная функция ,  – любое.

,

поскольку

.

Итак, .

Для сложной показательной функции имеем  или в более короткой записи

.

Для , ,  – любое, имеем

;

а также

.

Логарифмическая функция .

Для функции  обратная функция есть , .

По правилу дифференцирования обратной функции имеем . Отсюда . Итак, .

Для сложной логарифмической функции

или в сокращенной записи

.

Для  имеем соответственно

,

или  ,

или .

Для   – степенно-показательной функции можно вычислить производную так:

, т.е. производная степенно-показательной функции состоит из двух слагаемых – результатов дифференцирования исходной функции как степенной и как показательной функций.

Для ,  – любое число, ОДЗ, имеем

.

Итак,  или , т.е. подтвердили формулу производной степенной функции, ранее рассмотренной при натуральной степени, для произвольного показателя .

Заметим, что в приведенном здесь счете демонстрируется так называемое ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ.

[an error occurred while processing this directive]
Вычисление криволинейных интегралов