Вычислить массу дуги кривой Неопределенный интеграл Определенный интеграл Вычислить тройной интеграл Цилиндрические координаты Вычисление двойного интеграла Криволинейный интеграл Поверхностный интеграл Функция нескольких переменных

[an error occurred while processing this directive]

ПРИМЕР 1. Показать по определению .

РЕШЕНИЕ: 1) рассматриваем произвольное;

2) ищем   так, чтобы ,
т.е. ;

3)  вычисляем, при каких значениях  верно требуемое неравенство

,

т.е. при  из неравенства   следует справедливость неравенства .

Итак,   

, по определению .

Не всегда выбор  с нужными свойствами столь очевиден. Иногда удобнее применить соответствующие (проверенные!) предварительно оценки функций, входящих в решаемые неравенства.

ПРИМЕР 2. Показать по определению .

РЕШЕНИЕ: 1) берем ;

2) ищем   так, чтобы ;

3) вычисляем, предварительно оценивая

по свойствам абсолютной величины

,

причем значение  считаем близким к  так, что  ().

Потребуем теперь  и решим это неравенство относительно , получим .

Итак, при  нашли  так, что 

, , т.е.

действительно  – бесконечно большая при .

ПРИМЕР 3. Показать по определению .

РЕШЕНИЕ: 1) берем ;

2) ищем   так, чтобы для всякого  выполнялось
неравенство ;

3) можно решать неравенство непосредственно  или  и взять , ;

можно решать неравенство  с предварительной
оценкой

;

потребуем  и выберем .

Итак, , т.е. .

Заметим, что оба решения правильные и для вывода можно
использовать любое из найденных значений .

ПРИМЕР 4. Показать по определению .

РЕШЕНИЕ: 1) берем ;

2) ищем   так, чтобы ;

3) неравенство ; выберем . Тогда

  и такое, что .

ПРИМЕР 5. Показать по определению .

РЕШЕНИЕ: 1) берем ;

2) ищем   так, чтобы ;

3) прежде чем решать неравенство , оценим выражение ; здесь полагаем  –
малым, например, , т.е. , и тогда  и , т.е. .

Потребуем , т.е. .

Итак,

, т.е. .

ПРИМЕР 6. Показать .

РЕШЕНИЕ: 1) берем ;

2) ищем   так, чтобы  ;

считаем ; оцениваем  – верно при любом ; выбираем  из условия .

Вывод: , т.е. по определению конечного предела последовательности имеем .

ПРИМЕР 7. Показать по определению .

РЕШЕНИЕ: 1) берем ;

2) ищем   так, чтобы для всякого  выполнялось неравенство ;

3) оценим неравенство , поскольку для  .

Требуем .

Итак, , т.е. .

ПРИМЕР 8. Указать значение  для функций, заданных графически.

 

Ответ. а) 2; б) 2;  в) не существует; г) не существует.

Замечание. Если для доказательства существования предела
функции при   применяли определение предела по Коши, то показать, что не существует предел, чаще удобнее по определению Гейне.

ПРИМЕР 9. Показать, что  не существует.

РЕШЕНИЕ. Согласно определению предела по Гейне , если для всякой последовательности  :  выполняется . Укажем две последовательности  и , "двигаясь" по которым к   получаем  и , т.е. предел функции  при  не существует.

[an error occurred while processing this directive]
Вычисление криволинейных интегралов