Вычислить массу дуги кривой Неопределенный интеграл Определенный интеграл Вычислить тройной интеграл Цилиндрические координаты Вычисление двойного интеграла Криволинейный интеграл Поверхностный интеграл Функция нескольких переменных

[an error occurred while processing this directive]

 

Предел и непрерывность функции обной переменной

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ПРИ

Понятие предела функции  при , стремящемся к  (сокр. ), является основным понятием математического анализа. Оно характеризует поведение функции  вблизи точки , т.е. существование предела и его значение определяют локальное свойство .

Для математического описания  требуются специальные термины. Введем их.

Множество  – окрестность конечной точки , , радиуса  (сокр.  – –окрестность точки ); очевидно, что .

Множество  будем называть "выколотой" или "проколотой" –окрестностью точки  и обозначать ; очевидно, что .

Множество  –  – окрестность беско-нечности; расширяем множество всех действительных чисел символом ,
создавая возможность . Очевидно, что .

Заметим, что пересечение двух окрестностей одной и той же точки – снова окрестность этой же точки, а именно

, где ;

, где .

Точка   называется предельной точкой множества , , если в любой ее окрестности содержится хотя бы одна точка из
множества , отличная от , т.е.

( – предельная точка для )  ().

Если   – предельная точка множества , то в  (,
  – произвольное число) можно построить последовательность , , сходящуюся к  ( при ). Для
этого выбираем точки по определению:

;

;

 и т.д.

Заметим, что предельная точка множества может принадлежать множеству, а может и не принадлежать ему. Например, для  каждая его точка предельная, причем  также предельная точка этого множества, но .

Далее будем рассматривать функцию , ;  – предельная точка множества .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ предела функции (по Коши)

Пусть  – конечная точка или ;  – конечное число или . Тогда

,

т.е.  есть предел функции   при  тогда и только тогда, когда для всякого положительного числа  умеем указывать (найдется, существует) число  такое, что для каждого значения , , из  – окрестности точки  соответствующее значение функции  принадлежит  – окрестности .

Подчеркнем, что здесь речь идет о положительно-значной функции , определенной на множестве .

Замечания: 1. В определении предела значение функции в точке   не участвует, поэтому функция   в точке  может быть не определена (не задана).

2. Функция  находится не единственным образом: например, если   удовлетворяет определению предела
при   – к.ч., то всякая функция  на  также может быть использована.

Для доказательства наличия конечного или бесконечного предела функции при   важен лишь факт существования   при всяком  с нужными свойствами.

3. Определение предела (по Коши) на языке окрестностей может быть расшифровано в зависимости от значений  и  и структуры окрестностей.

border-left:none;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt'>

border-left:none;padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt'>

Геометрическая

иллюстрация

  – конечная точка;  – ко-нечное число. Конечный предел в конечной точке

border-bottom:solid windowtext 1.0pt;border-right:solid windowtext 1.0pt; padding:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;height:97.8pt'>

,

   – конечная точка; . Бесконечный предел в ко-нечной точке, т.е.  – бесконечно-большая при

,

  ,  – конечное чис-ло. Конечный предел в бесконечности<

,

, . Бесконечный предел в бесконечности, т.е.  – бесконечно-большая при

,

Замечание. Числовая последовательность – множество значений функции, определенной на множестве всех натуральных чисел, записанное в порядке возрастания , т.е.

.

Поэтому предел последовательности можно изучать при .

Возможны ситуации:

последовательность при  имеет конечный предел;

бесконечно большая последовательность при .

Для удобства изучения и геометрического представления последовательности обычно переобозначают   и последовательность  изображают точками на числовой оси.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ конечного предела последовательности

,

т.е. последовательность имеет конечный предел при  (сходится) тогда и только тогда, когда для всякого положительного числа   можно указать номер (значение ), начиная с которого все  удалены от числа  меньше чем на  (все члены последовательности  с номерами, большими , лежат в , вне  расположено лишь конечное множество членов последовательности).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ  бесконечно большой последовательности

.

Теория сходящихся последовательностей и свойств б/б последовательностей – частный случай соответствующих вопросов для функции в общем случае.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ предела функции (по Гейне)

Пусть ,  – предельная точка множества . Тогда

,

т.е.  есть предел функции при   тогда и только тогда, когда для всякой последовательности аргументов функции, состоящей из точек множества , отличных от , и сходящейся к , соответствующая последовательность значений функции имеет пределом .

Доказано (см. [1]), что определения предела по Коши и по Гейне эквивалентны, т.е. если согласно определению (по Коши) , то и соответственно определению (по Гейне) , и наоборот.

Итак, последовательность – средство изучения поведения функции. Но для доказательства существования предела нужно убедиться, что для всякой последовательности   аргументов, сходящейся к , последовательность  сходится к одному и тому же пределу (или к ). Поскольку таких последовательностей  бесконечное множество, то перебрать их все, в общем-то, трудно. Поэтому определение предела функции по Гейне чаще используется для установления отсутствия конечного предела функции
при .

Аналогично всякая последовательность может быть изучена с помощью ее ПОДПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ  (подпоследовательности)

Пусть   – произвольная числовая последовательность.

Пусть   функция такая, что

 определена для ;

;

  возрастающая (строго) функция, т.е.

  .

Тогда множество  элементов исходной последовательности, выделенных с помощью закономерности номеров , образует подпоследовательность  исходной последовательности.

Всякая последовательность имеет бесконечное множество
подпоследовательностей, например, ,, и т.д.

Если последовательность сходится, то и любая ее подпоследовательность сходится к тому же пределу.

Если последовательность бесконечно большая, то и любая ее подпоследовательность также бесконечно большая.

Обратные утверждения тоже верны, но не эффективны для изучения поведения последовательности. Поэтому используются обычно теоремы, в которых информация о поведении конечного множества подпоследовательностей позволяет устанавливать свойства
исходной последовательности.

УТВЕРЖДЕНИЕ (достаточное условие сходимости). Если для произвольной последовательности  ее подпоследователь-ности  и  сходятся, и их пределы совпадают, то
исходная последовательность  сходится к общему значению пределов указанных подпоследовательностей, т.е. ;

.

Доказательство:

,

.

Отсюда для всех  имеем ,
поскольку целое число либо четное, либо нечетное.

УТВЕРЖДЕНИЕ  (достаточное условие "расходимости" последовательности)

Если для произвольной последовательности либо какая-либо ее подпоследовательность не сходится (расходится), либо существуют две ее подпоследовательности, сходящиеся к различным пределам, то сама последовательность расходится.

Типовое задание – показать по определению  – 
в конкретном случае удобно решать по схеме:

рассматриваем произвольное ;

ищем   так, чтобы ;

для этого вычисляем, при каких значениях  выполняется соотношение , и строим функцию  с нужными свойствами;

записываем вывод.

[an error occurred while processing this directive]
Вычисление криволинейных интегралов