Вычислить массу дуги кривой Неопределенный интеграл Определенный интеграл Вычислить тройной интеграл Цилиндрические координаты Вычисление двойного интеграла Криволинейный интеграл Поверхностный интеграл Функция нескольких переменных

[an error occurred while processing this directive]

Некоторые механические примложения интеграла ФНП

1. Масса фигуры (отрезка, дуги, плоской фигуры, части криволинейной поверхности, тела)

,

если подынтегральная функция , , задает

плотность  линейная

распределения поверхностная ()

массы по  объемная ()

в зависимости от размерности фигуры, , ,  
на .

2. Статические моменты и центр масс фигуры

а) Пусть  – плоская фигура на плоскости ,  –
поверхностная плотность распределения массы по . Тогда статический момент "пластины"   относительно некоторой прямой на плоскости  есть интеграл , где  –
расстояние каждой точки "пластины"  до прямой.

В частности, статические моменты "пластины"  относительно оси  и оси  запишутся соответственно

.

Центр масс "пластины"  есть точка  на плоскости  такая, что если в ней поместить массу всей пластины, то ее статистический момент относительно любой оси равен статистическому моменту пластины относительно той же оси, т.е.

,

и отсюда формулы для нахождения координат центра тяжести
пластины :

.

б) Пусть  – фигура ("тело" ) в ;  – объемная плотность распределения массы в теле. Тогда статистические моменты тела относительно всякой плоскости находятся с помощью интеграла

,

где  – расстояние от точки   до плоскости; в частности,
интегралы

определяют статистические моменты "тела"  соответственно до плоскостей , , .

Как и для пластины , координаты центра тяжести тела  
находятся по формулам

, т.е.

.

в) Для материальной дуги  и материальной поверхности  с соответствующими функциями  – плотности (линейная и поверхностная) распределения массы по  и   статические моменты и координаты центра тяжести находятся по аналогичным формулам.

Заметим, что центр тяжести дуги, поверхности не всегда расположен на дуге или на поверхности.

3. Момент инерции фигуры можно вычислять относительно плоскостей, осей координат и начала координат:

,

здесь  есть квадрат расстояния точки , , до
соответствующего объекта. Например, если  или ,  – плотность распределения массы по фигуре , то

 –

моменты инерции материальной фигуры  относительно соответствующей координатной плоскости;

 –

моменты инерции материальной фигуры относительно соответствующей оси координат;

  – момент инерции материальной
фигуры   относительно начала координат.

[an error occurred while processing this directive]
Вычисление криволинейных интегралов