Вычислить массу дуги кривой Неопределенный интеграл Определенный интеграл Вычислить тройной интеграл Цилиндрические координаты Вычисление двойного интеграла Криволинейный интеграл Поверхностный интеграл Функция нескольких переменных

[an error occurred while processing this directive]

Геометрические свойства интеграла ФНП

 

Возможное геометрическое представление интегральной суммы  функции  на , а затем и интеграла  определяют геометрические свойства интеграла и перечень некоторых возможных задач, решаемых с помощью интеграла.

 

1. Площадь плоской фигуры

а) Пусть на плоскости  задана криволинейная трапеция
(см. ранее в п. 2.2). Тогда ее площадь можно вычислить с помощью определенного интеграла , здесь  на .

Если фигура есть комбинация криволинейных трапеций, то ее площадь находится через соответствующие операции над площадями составляющих криволинейных трапеций. В частности, при нахождении площади фигуры , заданной неравенствами  (см. рисунок), можно применить формулу

.

Для понимания формулы достаточно провести параллельный перенос оси   на  с тем, чтобы кривые  и  были расположены выше оси.
И тогда площадь заданной фигуры находится через площадь криволинейной трапеции, т.е.

.

Иногда область  удобнее проектировать на ось  и задать неравенствами  (см. рисунок). В этом случае площадь фигуры  считается по формуле .

б) Площадь плоской фигуры  можно вычислить с помощью двойного интеграла:   (при  на  ), т.е. .

2. Длина дуги считается с помощью криволинейного интеграла

.

Если дуга задана параметрически  , то , поэтому  переходит в  для дифференцируемых на  функций , ,  и поэтому в указанном случае

.

Заметим, что если дуга плоская, например  то  ( – параметр) и длина дуги считается по
формуле

.

 

3. Площадь части криволинейной поверхности  считается с помощью поверхностного интеграла

(при  на ).

Например, если поверхность  задается уравнением ,  – проекция поверхности  на плоскость , то площадь поверхности  есть

.

 

4. Объем тела

а) Объем тела "с известной площадью сечения" считается с
помощью определенного интеграла.

б) Пусть в пространстве  задано тело, ограниченное плоскостью ,а именно плоской областью , цилиндрической поверхностью с образующей параллельной оси  и направляющей – границей  области  и поверхностью , заданной уравнением ;  – проекция поверхности  на плоскость ;  на .

Такое тело обычно называют цилиндрическим телом; объем его вычисляется с помощью двойного интеграла

.

Это согласуется с геометрическим представлением интегральной суммы   и ее пределом при  .

в) В случае, когда тело можно представить комбинированием цилиндрических тел, объем его считается через объемы этих цилиндрических тел. Для тела, ограниченного достаточно простыми
поверхностями, объем можно вычислять с помощью тройного интеграла

(  на ).

[an error occurred while processing this directive]
Вычисление криволинейных интегралов