Вычислить массу дуги кривой Неопределенный интеграл Определенный интеграл Вычислить тройной интеграл Цилиндрические координаты Вычисление двойного интеграла Криволинейный интеграл Поверхностный интеграл Функция нескольких переменных

Примеры решения задач по математике 1-2 курса технического университета

Интегрирование функций нескольких переменных

С размерностью фигуры связано интуитивно понимаемое понятие мера фигуры (сокр. ). Теория меры множества включает понятия: "спрямляемость" дуги", "квадрируемость" области,
"кубируемость" тела, устанавливая, в частности, необходимые и достаточные условия их существования.

Сведем в таблицу предлагаемые термины для лучшего запоминания.

 

,

Фигура ,

Размерность фигуры ,

Мера
фигуры ,

Отрезок

, одноразмерная

Длина

 

 

 

 

 

Дуга

 

, одно-
размерная

 

 

Длина

 

 

 

Плоская

область

 

 

двухразмерная

 

 

 

Площадь

 

 

 

 

Часть

поверхности

 

 

двухразмерная

 

 

 

Площадь

 

 

 

 

 

 

 Тело

 

 

трехразмерная

 

 

 

Объем

7.2. ПОНЯТИЕ ИНТЕГРАЛА ФНП

 

Для построения интеграла ФНП  по фигуре , ,
используется следующая процедура построения интегральной суммы и переход к пределу.

1. Фигуру  произвольно разбиваем на  частичных фигур  той же размерности без наложений, т.е. любые две частичные фигуры, если имеют не пустое пересечение, то это множество меньшей размерности. Обозначим меру  через ,  ().

Диаметр фигуры  есть число , где  и  – произвольные точки фигуры , .

Всякое разбиение  фигуры  на  характеризуется диаметром разбиения , где .

2. В каждой частичной фигуре ,  произвольно выбираем точку , ,  и вычисляем значение функции . Систему точек  обозначим через .

3. Вычисляем  и суммируем по . Тогда каждой системе  разбиения фигуры  на частичные фигуры и каждой системе   выбранных точек соответствует выражение  – интегральная сумма функции  на фигуре .

Если существует , не зависящий от  и ,

то его значение называется интегралом ФНП  по фигуре  и обозначается

.

В зависимости от числа независимых переменных функции, размерности и меры фигуры интеграл  имеет различное представление, интерпретацию и способ счета.

Пусть  – функция одной переменной, , т.е. фигура  есть отрезок. Процедура построения интеграла , называемого определенным интегралом
функции  на , представится в следующем виде.

1. Разбиение  проводится системой произвольно взятых точек , где , ,  и состоит из частичных отрезков , ; причем каждые два
соседних отрезка имеют лишь одну общую точку (мера множества, состоящего из одной точки, равна нулю). Диаметр разбиения  есть , где , .

2. На каждом частичном отрезке , ,
произвольно выбирается точка , ; ;
вычисляется значение функции .

3. Составляем интегральную сумму  функции  на  соответственно произвольному разбиению  и произвольно выбранной системе выбора точек .

Если   на , то построенной интегральной сумме соответствует, например, площадь ступенчатой "трапеции" с основанием  и графиком кусочно-постоянной функции – границей сверху (см. рисунок).

Очевидно, что с изменением разбиения  и системы точек  эта "трапеция" изменится и ее площадь также.

Если существует , не зависящий от  и , то значение этого предела называется определенным интегралом функции  на отрезке   и обозначается .

Функция  называется интегрируемой (по Риману) на , что иногда записывают в виде .

При  на   число  соответствует значению площади криволинейной трапеции, ограниченной прямыми  и , отрезком  на оси , графиком , .

Аналогично расшифровывается определение интеграла  в других случаях функции  и множества  
(см. таблицу).

 

 

 

 

 

 

название

 

 

Отрезок

 

 

 

 

 

 

 

определенный

интеграл

 

 

 

 

 

 

 

 

Дуга

 

 

 

 

 

 

 

точки на дуге

 

 

 

 

 

 

криволинейный

интеграл
по длине дуги (1го рода)

 

 

 

Область на плоскости

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

;

 

или

двойной интеграл

 

 

 

 

 

 

Часть поверхности

 

 

;

 

 

 

 

 

 

или

поверхност-ный

интеграл по площади поверхности (1го рода)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тело разбиваем

плоскостями

,,

на элементарные тела – параллелепипеды

 

 

 

 

 

 

или

тройной интеграл

 

 


Вычисление криволинейных интегралов