Матрицы Вычислить предел Неопределенный интеграл Производная функции Определенные интегралы Двойной интеграл Разложить в ряд Лорана Изменить порядок интегрирования Найти объем тела Вычислить криволинейный интеграл

Примеры решения задач по математике 1-2 курса технического университета

Замена переменной; интегрирование по частям

Задания для подготовки к практическому занятию

При вычислении любого неопределенного интеграла следует ответить для себя на следующие вопросы:

- является ли интеграл табличным? Может быть, он отличается от табличного лишь линейной заменой?

- если нет, может ли интеграл быть упрощен, то есть можно ли представить подынтегральную функцию в виде суммы (в этом случае каждое из слагаемых интегрируется отдельно, начиная с первого вопроса)?

- если нет, имеет ли смысл пользоваться внесением под знак дифференциала? (впрочем, если вы не уверенно пользуетесь этим методом, этот вопрос можно опустить)

 Если на все три вопроса ответ отрицательный, стоит попробовать сделать замену переменной (подстановку). Обычно при выборе подстановки удобно бывает руководствоваться принципами:

- заменять надо то, что не нравится («эстетический принцип»; обратите внимание: «не нравится» не потому, что мешает вычислить интеграл, а именно из эстетических соображений – например, корень, логарифм, знаменатель дроби);

- заменяемая функция t=t(x) не должна быть сложной (впрочем, иногда это допускается, если внутренняя функция линейная);

- если под интегралом находится сложная функция, следует заменить ее аргумент.

Иногда при этом приходится последовательно делать несколько замен переменных (или применять подведение под дифференциал).

Следует отметить, что во всех случаях, когда можно воспользоваться внесением под знак дифференциала, можно вместо этого сделать замену переменной.

Пример.

Предложенный интеграл не является табличным, даже  с точностью до линейной замены («мешает» х в числителе); не может быть сведен к сумме; вносить х под дифференциал бессмысленно, т.к. остальное выражение зависит не от х2.

Попробуем выполнить замену переменной. Перечисленным выше принципам отвечает подстановка t=1-2x (это аргумент корня, который находится в знаменателе дроби). Сделаем замену; формулы, по которым замена производится, будем записывать внутри строки вычислений в фигурных скобках:

 

.

Отметим, что в данном случае вместо замены переменной можно было воспользоваться и подведением под знак дифференциала. Обратно, во всех случаях, когда применяется подведение под дифференциал, можно пользоваться вместо этого заменой переменной.

Интеграл Эйлера – Пуассона.

Определение. Несобственный интеграл  называется интегралом Эйлера – Пуассона.

Известно, что не выражается через элементарные функции,

поэтому для вычисления интеграла Эйлера – Пуассона используем двойной интеграл от функции  по различным специального вида областям.

Рассмотрим три области:

 – 1-ая четверть круга радиуса R; x2+y2 ≤ R2(x ≥ 0; y ≥ 0).

  – квадрат со стороной R в 1-ой четверти; x=R; y=R; x=0; y=0.

  – 1-ая четверть круга радиуса : x2+y2 ≤ 2R2(x ≥ 0; y ≥ 0).

По каждой из этих областей вычислим двойной .

.

Так как > 0 при любых (x; y)D и , то:

  <  <

Следовательно:

  <  < .

Так ,  положительные при любых значениях R, то

 < <

Вычислим пределы:

  <  <

  <  <

По теореме о пределе трех функций: .


Вычисление тройных интегралов