Вычислить массу дуги кривой Неопределенный интеграл Определенный интеграл Вычислить тройной интеграл Цилиндрические координаты Вычисление двойного интеграла Криволинейный интеграл Поверхностный интеграл Функция нескольких переменных

Примеры решения задач по математике 1-2 курса технического университета

ПРИМЕР 1. Вычислить .

РЕШЕНИЕ. Рационализируем интеграл заменой . Тогда ,  и . Выделим целую часть, правильную дробь разложим на сумму простейших дробей:

.

Окончательно получаем

.

Интеграл вида  рационализируется так называемой универсальной подстановкой

, , . Определители второго и третьего ранга. В приложениях часто встречаются определители второго и третьего порядков.

В самом деле, используя тригонометрические формулы , имеем

  –

– интеграл от дробно-рациональной функции переменной .

ПРИМЕР 2. Вычислить .

РЕШЕНИЕ. Полагая , получим

.

Заметим, что применение универсальной подстановки к интегрированию функций вида   приводит, как правило,
к вычислениям более сложным, чем при использовании частных приемов.

Если функция  после замен ,  оказывается рациональной функцией от  (в частности, если , то подстановка  более эффективная, чем универсальная.

ПРИМЕР 3. Вычислить .

РЕШЕНИЕ. Положим , , . Тогда ,  и

.

Применение универсальной подстановки привело бы к более сложной подынтегральной функции .

3. Рационализация интегралов от функции вида , ,  осуществляется с помощью тригонометрических подстановок, рассмотренных ранее.

ПРИМЕР 4. Вычислить .

РЕШЕНИЕ. Положим ; тогда , . Поэтому

.

Так как , то окончательно имеем .

4. Интеграл от функции , где , , рационализуется заменой переменных  – общее кратное чисел  и .

ПРИМЕР 5. Вычислить .

РЕШЕНИЕ. Подынтегральная функция – рациональная дробь переменных  и , . Полагаем , , тогда ,  и

.

5. Интеграл от функции , где , ,  и  –
постоянные,   – целое положительное число, рационализируется подстановкой .

ПРИМЕР 6. Вычислить .

РЕШЕНИЕ. Полагая , тогда ,  и . Отсюда

.

ПРИМЕР 7. Выяснить, выражаются ли интегралы  и  элементарными функциями.

РЕШЕНИЕ. Для  имеем , , ; отсюда , ,  – ни одно из этих чисел не является целым числом. Поэтому  не выражается через элементарные функции.

Для  имеем , , , и снова ни одно из чисел , ,  не является целым. Поэтому  также не выражается через элементарные функции.

Можно доказать, что не выражаются элементарными функциями интегралы вида:

 – интеграл Пуассона

,  – интегралы Френеля

   – интегральный логарифм;

  – интегральный косинус;

  – интегральный синус.

Эти интегралы реально существуют, играют большую роль в решении многих прикладных задач. Поэтому они изучены с такой же полнотой, как и простейшие элементарные функции.

.

Выберем, например, . Тогда ,  , , т.е. по определению предела ФНП в точке имеем .


Школьный курс математики http://autobun.ru/ задачи Обозначение материалов на чертежах http://autobun.ru/
Вычисление криволинейных интегралов