Вычислить массу дуги кривой Неопределенный интеграл Определенный интеграл Вычислить тройной интеграл Цилиндрические координаты Вычисление двойного интеграла Криволинейный интеграл Поверхностный интеграл Функция нескольких переменных

Примеры решения задач по математике 1-2 курса технического университета

Интегрирование дробно-рациональной функций

ПРИМЕР 1. Разложить на простейшие дроби рациональную дробь .

РЕШЕНИЕ. Прежде всего проверяем, является ли дробь  правильной. Для этого сравниваем степени числителя  и знаменателя :  и дробь  – правильная.

Знаменатель разложим на множители: , причем трехчлен имеет комплексные корни , а поэтому не разлагается на линейные множители.  – несократимая дробь, так как  и   не являются корнями числителя.

Итак, для дроби  применима теорема 2.

Множителю  в знаменателе соответствует сумма простейших дробей , а множителю  – одна простейшая дробь вида . По теореме 2 должно быть справедливо тождество , , из которого находятся коэффициенты . Для этого приведем сумму дробей в правой части тождества к общему знаменателю, получим дробь, тождественно равную дроби , и тогда при равных знаменателях числители дробей обеих частей тождества должны быть равными:

.

Но тогда у этих многочленов совпадают коэффициенты при одинаковых степенях : Предел и непрерывность функции нескольких переменных Математика примеры решения задач

 –

– система линейных алгебраических уравнений относительно , .

Решив эту систему, находим ; ; ;  и .

Способ отыскания неопределенных коэффициентов в этом
примере можно назвать способом сравнения коэффициентов при одинаковых степенях аргумента .

ПРИМЕР 2. Вычислить .

РЕШЕНИЕ. Здесь подынтегральная функция – несократимая
правильная дробь, знаменатель ее уже разложен на множители. Разложение на простейшие дроби имеет вид

.

Чтобы найти коэффициенты  этого разложения, приводим сумму дробей в правой части равенства к общему знаменателю и приравниваем числители дробей слева и справа:

.

Далее, вместо способа сравнения коэффициентов, применим способ частных значений . Он состоит в том, что тождество рассматривается при конкретных значениях ; эти значения выбираются так, чтобы получающиеся числовые равенства содержали как можно меньше неопределенных коэффициентов. Такими значениями являются корни знаменателя  данной дроби. В нашем случае:

при   ;

при   ;

при   .

Получим

.

Способ частных значений особенно эффективен тогда, когда  имеет только простые действительные корни.

Итак, на примерах показан следующий алгоритм интегрирования правильной рациональной дроби.

Если дробь  – неправильная, то следует представить ее в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби (выделить целую часть).

Разложить знаменатель дроби на множители – линейные и квадратичные (неразложимые на линейные с действительными коэффициентами), проверить несократимость
правильной рациональной дроби.

Разложить правильную рациональную дробь на простейшие дроби методом неопределенных коэффициентов.

Проинтегрировать простейшие дроби.

Записать ответ.

ПРИМЕР 3. Вычислить .

РЕШЕНИЕ. 1. Выделим целую часть дроби, для этого делим многочлены

Получаем .

2. Разложим знаменатель дроби на множители

.

3. Поскольку правильная рациональная дробь  несократима, то для нее верно представление

,

из которого, приравнивая числители дробей обеих частей равенства (после приведения к общему знаменателю в правой части), получаем тождество

.

Неизвестные коэффициенты находим комбинированным способом. Сначала применяем способ частных значений:

при  ;

при   .

По способу сравнения коэффициентов выявляем в правой части тождества коэффициент при   (это легко сделать) и свободный член (для этого, в частности, можно положить ), приравниваем их соответственно нулю и числу 24. Решаем полученную систему
уравнений , , используя уже найденные значения неизвестных. Получим , .

4. Интегрируем простейшие дроби:

.

5. Окончательно

.


Математика Производные ФНП высших порядков пример Внецентренное сжатие или растяжение Сопромат Контрольная
Вычисление криволинейных интегралов