Вычислить массу дуги кривой Неопределенный интеграл Определенный интеграл Вычислить тройной интеграл Цилиндрические координаты Вычисление двойного интеграла Криволинейный интеграл Поверхностный интеграл Функция нескольких переменных

Примеры решения задач по математике 1-2 курса технического университета

Иногда формула позволяет искомый интеграл выразить через некоторые функции и этот же интеграл. Полученное равенство является уравнением относительно искомого интеграла. Решив это уравнение, вычислим интеграл. Интегралы такого типа называют возвратными.

ПРИМЕР 1. Вычислить .

РЕШЕНИЕ.

.

Получили уравнение для значения . Используя табличный
интеграл 10, окончательно имеем .

ПРИМЕР 2. Вычислить , применяя интегрирование по частям,  – число, . Комплексные числа. Определение. Комплексным числом z называется выражение , где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, которая определяется соотношением:

РЕШЕНИЕ. Полагаем , . Тогда , . Применяя формулу интегрирования по частям, получаем  (см. формулу 15 таблицы)

.

Из уравнения  находим интеграл

,

который в силу его распространенности можно отнести к табличным.

Интегралы вида  и  вычисляются
аналогично, но после двукратного интегрирования по частям.

ПРИМЕР 3. Вычислить .

РЕШЕНИЕ.

.

Получим уравнение ,
из которого находим искомый интеграл

.

Аналогично вычисляется интеграл

(рекомендуем провести подробные вычисления).

ПРИМЕР 4. Вычислить интеграл , используя ранее
полученную формулу.

РЕШЕНИЕ. Здесь , . Получаем

.

Понятие о РЕКУРРЕНТНОМ выражении для интеграла покажем на примере вычисления интеграла от тригонометрической функции.

ПРИМЕР. Вычислить интеграл  до конца при общем значении  громоздко. Поэтому обычно  выражают через , ,  , ; получают рекуррентное соотношение для .

.

Разрешая относительно  полученное равенство, имеем соотношение , , пользуясь которым можно вычислять (последовательно)  при всяком , начиная с .

Например, ;  и т.д.


Разложение периодических функций в ряд Фурье Построение разверток поверхностей Начертательная
Вычисление криволинейных интегралов