Вычислить массу дуги кривой Неопределенный интеграл Определенный интеграл Вычислить тройной интеграл Цилиндрические координаты Вычисление двойного интеграла Криволинейный интеграл Поверхностный интеграл Функция нескольких переменных

Примеры решения задач по математике 1-2 курса технического университета

Интегрирование по частям

ПРИМЕР 1. Вычислить .

РЕШЕНИЕ. Выберем ,  и проведем вычисления согласно (*) (обращаем внимание на возможный вариант записи этих вычислений).

.

При отыскании  постоянную интегрирования положили равной нулю. Можно проверить, что введение произвольной постоянной  при нахождении  не изменит вида окончательного ответа.

2. Иногда для вычисления интеграла приходится применять формулу интегрирования по частям последовательно несколько раз, при этом выбор множителей   и  должен быть преемственным.

РЕШЕНИЕ. Применяя формулу (*) дважды, получим

.

Не всегда выбор множителей  и  в подынтегральном выражении очевиден. В этом случае приходится перебирать различные варианты, отбирая тот, при котором интеграл   проще исходного интеграла.

ПРИМЕР 3. Вычислить , .

РЕШЕНИЕ. Производные функций  и  "проще" самих функций, но при выборе  появляются затруднения с нахождением  (нет в таблице интеграла ). Поэтому полагаем , . Тогда ,  и

.

3. Среди табличных интегралов отсутствуют интегралы таких функций, как   и т.д. Они вычисляются с помощью интегрирования по частям.

ПРИМЕР 4. Вычислить .

РЕШЕНИЕ.

.

4. Интегрирование по частям иногда эффективно для вычисления интегралов от тригонометрических функций, в частности, для , в случае, когда один из показателей – нечетное
отрицательное целое число.

ПРИМЕР. Вычислить .

РЕШЕНИЕ. Множитель  выбираем так, чтобы в интеграле  степень функции в знаменателе уменьшилась. Полагая , имеем

 

.

 


Вычисление криволинейных интегралов