Вычислить массу дуги кривой Неопределенный интеграл Определенный интеграл Вычислить тройной интеграл Цилиндрические координаты Вычисление двойного интеграла Криволинейный интеграл Поверхностный интеграл Функция нескольких переменных

Примеры решения задач по математике 1-2 курса технического университета

Интегрирование тригонометрических функций вида

1. Одно из чисел  или  является положительным нечетным числом. Пусть, например,  – произвольное, , где . Тогда для интеграла  отделим множитель  в подынтегральном выражении и подведем под дифференциал . Оставшуюся четную степень  выразим через , используя формулу .
В результате получаем

,

где  – произвольное, а   – целое неотрицательное число.
Интеграл   оказывается суммой интегралов, каждый из которых вычисляется по формуле 1 таблицы.

ПРИМЕР 1. Вычислить .

РЕШЕНИЕ. Здесь ,  – нечетное, положительное число. Предел функции. Предел функции в точке

Отделим   и подведем под дифференциал, а  представим в виде . Тогда имеем

.

Аналогично вычисляются интегралы вида , где ,  – любое число.

ПРИМЕР 2. Вычислить .

РЕШЕНИЕ. Здесь  – нечетное, положительное число, .

Отделяя множитель  и подведя его под знак дифференциала , получим

.

2. Пусть  и   – четные числа.

Если ,  и , , т.е.  и  – неотрицательные четные числа, то рекомендуется последовательно понижать показатели степеней функций  и  до тех пор, пока они не станут нечетными или нулевыми, используем формулы , , .

ПРИМЕР 3. Вычислить .

РЕШЕНИЕ. Здесь ,  – четные положительные числа. Используя рекомендации, получаем

.

Если хотя бы один из показателей  или  является отрицательным четным числом, то рекомендуется, используя формулу "тригонометрической единицы" , преобразовать подынтегральное выражение к сумме, содержащей произведение степени функции  (или ) на дифференциал этой функции.

ПРИМЕР 4. Вычислить .

РЕШЕНИЕ. Умножим числитель дроби подынтегрального выражения на  с тем, чтобы попытаться "погасить избыток"
четных степеней   в знаменателе. Получаем

.

В каждом из полученных интегралов проведем процедуру "погашения избытка" четных степеней в знаменателе еще раз; тогда получим

.

Здесь два раза последовательно умножали числители интегралов на "тригонометрическую единицу". Можно сразу "погасить избыток" степеней в знаменателе () умножением числителя на ; можно провести замену переменной .

. Преобразование подынтегрального выражения с помощью "тригонометрической единицы" целесообразно применять и в случае, когда показатели  и  одновременно отрицательные нечетные числа.

ПРИМЕР. Вычислить  ().

РЕШЕНИЕ.

.


Замена переменных в двойных интегралах Изменить порядок интегрирования в интеграле решение
Вычисление криволинейных интегралов