Вычислить массу дуги кривой Неопределенный интеграл Определенный интеграл Вычислить тройной интеграл Цилиндрические координаты Вычисление двойного интеграла Криволинейный интеграл Поверхностный интеграл Функция нескольких переменных

Примеры решения задач по математике 1-2 курса технического университета

Решение примерного варианта контрольной работы №2

 Задача 5. Дано векторное поле  и уравнение плоскости d: 3x + y + 2z – 3 = 0. Требуется:

найти поток поля  через плоскость треугольника АВС где А, В, и С – точки пересечения плоскости d с координатными осями, в направлении нормали плоскости, ориентированной «от начала координат»; построить чертеж пирамиды ОАВС, где О – начало координат; используя формулу Остроградского-Гаусса, вычислить поток поля  через полную поверхность пирамиды ОАВС в направлении внешней нормали.

Решение.

Чтобы вычислить поток поля  через плоскость треугольника АВС используем формулу (16): ПАВС =, где D – проекция треугольника АВС на плоскость xOy, F – функция, задающая плоскость d, которой принадлежит треугольник АВС.

Для построения чертежа найдем точки А, В, и С пересечения плоскости d с координатными осями:

.

Построим чертеж пирамиды, отложив на координатных осях точки А, В, С и соединив их с началом координат O (рис. 12).

Из уравнения плоскости d: 3x + y + 2z – 3 = 0, которое имеет вид F(x, y, z) = 0, находим

  .

Поскольку все три проекции градиента положительные, то этот вектор образует с координатными осями острые углы, т.е. направлен «от начала координат» по отношению к плоскости d.

Это означает, что вектор  и орт «внешней» нормали , указанный в задаче, совпадают по направлению, поэтому вычисление потока через плоскость треугольника АВС сводится к вычислению двойного интеграла:

ПАВС = + (перед интегралом ставим знак «+»), где AOВ – проекция треугольника ABC на плоскость xOy.

 Для расстановки пределов интегрирования по треугольнику AOВ (рис. 13) найдем уравнение прямой АВ на плоскости xOy:

 Вычислим  и получим подинтегральную функцию, подставив = 2 и  (из уравнения плоскости):

.

Таким образом, поток поля  через плоскость треугольника АВС:

.

Вычислим внутренний интеграл по переменной y:

Вычислим внешний интеграл по переменной х:

.

  2) Чтобы вычислить поток поля  через полную поверхность пирамиды ОАВС, воспользуемся формулой Остроградского-Гаусса:

.

  Найдем дивергенцию этого поля по формуле (17): . Для поля  получаем:

.

  Вычислим поток поля  через полную поверхность пирамиды ОАВС:

, где  – объем пирамиды ОАВС. Этот объем можно вычислить, следующим образом:

.

В результате получаем: .

Ответы: 1) ПABC = 8,5, рисунок 12; 2) ПОАВС = –2,25.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ (многочлена Тейлора). Если для ,  существуют производные , , , то многочлен

называется многочленом Тейлора n – го порядка функции  по степеням разности .

Он единственен!

В этом случае говорят, что "функция  "порождает" свой
многочлен Тейлора в точке ".

Покажем, что именно многочлен Тейлора  функции  задает наилучшее локальное приближение этой функции. Для этого оценим погрешность приближения , т.е. оценим на  функцию .

1.   – качественная характеристика погрешности (форма Пеано).

В самом деле, рассмотрим

( применим последовательно "" раз правило Лопиталя )

,

а это означает, что ,

т.е.   – формула Тейлора ""-го порядка для функции  по степеням разности  с остаточ-ным членом в форме Пеано.

2. ,  – между  и  –количественная характеристика погрешности (форма Лагранжа).

В самом деле, преобразуем отношение

( по теореме Коши:  между  и ;  – параметр )

( по теореме Коши:  между  и ;  – параметр )

( после ""-кратного применения теоремы Коши:  между  и , т.е. между  и  )

.

Итак, если функция   раз дифференцируема в окрестности точки , причем  – непрерывная функция в этой окрестности, то

,

где   – некоторая точка между  и , т.е. функция представима
по формуле Тейлора ""-го порядка по степеням разности  с остаточным членом в форме Лагранжа.

При   формулу Тейлора называют иногда формулой
Маклорена* и записывают

.


Вычисление криволинейных интегралов