Вычислить массу дуги кривой Неопределенный интеграл Определенный интеграл Вычислить тройной интеграл Цилиндрические координаты Вычисление двойного интеграла Криволинейный интеграл Поверхностный интеграл Функция нескольких переменных

Примеры решения задач по математике 1-2 курса технического университета

Задача 7. Дана функция комплексной переменной , где z = x + iy, и точка z0 = – 1 + 3i. Требуется:

представить функцию в виде w = u(x, y) +iv(x, y), выделив ее действительную и мнимую части;

проверить, является ли функция w аналитической;

в случае аналитичности функции w найти ее производную w′ в точке z0.

Решение.

1) Выделим действительную и мнимую части функции:

.

2) Чтобы установить аналитичность функции w, проверим выполнение условий Коши-Римана (10):

Получили:. Условия Коши-Римана выполняются во всех точках, кроме особой точки z = 2i, в которой функции x = 0, y = 2 и функции u(x, y) и v(x, y) не определены. Следовательно, функция  – аналитическая при .

3) Найдем производную функции:

.

Вычислим значение производной функции в точке z0 = – 1 + 3i.

Ответы:

1) ;

2) функция  аналитическая при ;

3) .

ТЕОРЕМЫ ПО ТЕМЕ "ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ

И ПОСТРОЕНИЕ ЕЕ ГРАФИКА"

ТЕОРЕМА (о необходимом и достаточном условиях существования наклонной асимптоты кривой  при   или
при )

Пусть функция  определена на . Прямая  – наклонная асимптота для  при  тогда и только тогда, когда 1)  – конечное число; 2)  – конечное число.

Доказательство. () Если  – наклонная асимптота при  ( – числа), то , т.е. . Поэтому  и .

() Из 1) и 2) имеем  и , т.е.  – наклонная асимптота при .

Аналогичные рассуждения при .


Вычисление криволинейных интегралов