Вычислить массу дуги кривой Неопределенный интеграл Определенный интеграл Вычислить тройной интеграл Цилиндрические координаты Вычисление двойного интеграла Криволинейный интеграл Поверхностный интеграл Функция нескольких переменных

Примеры решения задач по математике 1-2 курса технического университета

Задача 5. Поверхность задана уравнением z =  + xy – 5x3. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности σ в точке М0(x0, y0, z0), принадлежащей ей, если x0 = –1, y0 = 2.

Решение.

Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности σ получим, используя формулы (5) и (6). Найдем частные производные функции

z = f (x, y) =  + xy – 5x3:

(x, y) = ( + xy – 5x3) = –  + y – 15x2;

(x, y) = ( + xy – 5x3) =  + x.

Точка М0(x0, y0, z0) принадлежит поверхности σ, поэтому можно вычислить z0, подставив заданные x0 = –1 и y0 = 2 в уравнение поверхности:

z =  + xy – 5x3  z0 =  + (–1) 2 – 5 (–1)3 = 1.

Вычисляем значения частных производных в точке М0(–1, 2, 1):

(М0) = – + 2 – 15(–1)2 = –15; (М0) =  – 1 = –2.

Пользуясь формулой (5), получаем уравнение касательной плоскости к поверхности σ в точке М0:

z – 1= –15(x + 1) – 2(y – 2)  15x + 2y + z + 10 = 0.

Пользуясь формулой (6), получаем канонические уравнения нормали к поверхности σ в точке М0:  =  = .

Ответы: уравнение касательной плоскости: 15x + 2y + z + 10 = 0; уравнения нормали:  =  = .

Задача 6. Дано плоское скалярное поле U = x2 –2y, точка М0(1,–1) и вектор . Требуется:

1) найти уравнения линий уровня поля;

2) найти градиент поля в точке M0 и производную  в точке M0 по направлению вектора ;

3) построить в системе координат xОy 4-5 линий уровня, в том числе линию уровня, проходящую через точку M0, изобразить вектор  на этом чертеже.

Решение.

1) Для U = x2 – 2y уравнение семейства линий уровня имеет вид

x2 – 2y = С или y =  – , где С – произвольная постоянная. Это семейство парабол, симметричных относительно оси Oy (ветви направлены вверх) с вершинами в точках (0, – ).

Найдем частные производные функции U = x2 – 2y:

 = (x2 – 2y) = 2x,  = (x2 – 2y) = – 2.

В точке М0(1,–1) значения частных производных:, .

По формуле (7) находим градиент поля в точке M0:

.

Прежде, чем найти производную по направлению вектора = = {2; – 1}, вычислим его модуль и направляющие косинусы:

, .

Производную поля по направлению вектора  в точке М0 вычисляем

по формуле (8): .

3) Для построения линий уровня в системе координат xОy подставим в уравнение семейства линий уровня y =  –  различные значения С:

при С = 0 получим y = – уравнение линии уровня, соответствующей значению U = 0;

при С = –2 получим y =  + 1 (для U = –2);

при С = 2 получим y =  – 1 (для U = 2);

при С = – 4 получим y =  + 2, и т.д.

Получим уравнение линии уровня, проходящей через точку М0(1,–1). Для этого вычислим значение функции U в этой точке: .

Построим эти линии в системе координат xОy (рис. 10).

Для построения градиента поля в точке M0 нужно отложить от точки М0 проекции градиента в направлениях координатных осей и построить вектор   по правилу параллелограмма.

В данном случае , поэтому откладываем от точки М0(1,– 1) две единицы вдоль оси Ox, две единицы в направлении, противоположном оси Oy и получаем вектор   как диагональ параллелограмма, построенного на векторах  и  (рис. 10).

Ответы: 1) x2 – 2y = С; 2) , ;

3) линии уровня и  на рисунке 10.

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ АНАЛИЗА

 

ИЛЛЮСТРАТИВНЫЙ ПРИМЕР приведем, используя геометрическое задание функции; на рисунке  удовлетворяет условиям теоремы, причем  и  и .

Примеры на существенность условий теоремы рекомендуем провести самостоятельно.

Доказательство. Рассмотрим дифференцируемую в точке  функцию, т.е. для  существует , причем  (произвольно!) Для определенности предположим, что . Тогда для  имеем ; для  имеем . Переходя к пределу при произвольном стремлении , получаем одновременно  и , что возможно лишь при .


Вычисление криволинейных интегралов