Вычислить массу дуги кривой Неопределенный интеграл Определенный интеграл Вычислить тройной интеграл Цилиндрические координаты Вычисление двойного интеграла Криволинейный интеграл Поверхностный интеграл Функция нескольких переменных

Примеры решения задач по математике 1-2 курса технического университета

Задача 4. Дана функция двух переменных: z = x2 – xy + y2 – 4x + 2y + 5 и уравнения границ замкнутой области D на плоскости xОy: x = 0, y = –1, x + y = 3. Требуется:

1) найти наибольшее и наименьшее значения функции z в области D;

2) сделать чертеж области D в системе координат, указав на нем точки, в которых функция имеет наибольшее и наименьшее значения.

Решение.

Для наглядности процесса решения построим область D в системе координат. Область D представляет собой треугольник, ограниченный прямыми x = 0, y = –1 и x + y = 3. Обозначим вершины треугольника: A, B, C (рис 9).

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции z, сначала найдем все стационарные точки функции z = x2 – xy + y2 – 4x + 2y + 5, лежащие внутри области D (если они есть), и вычислим в них значения функции.

Стационарные точки – это точки, в которых все частные производные

1-го порядка равны нулю:

Решаем систему:

 Стационарная точка М(2, 0) (рис. 9) и является внутренней точкой области. Вычислим значение функции в этой точке:

.

  Теперь найдем наибольшее и наименьшее значения функции на границе области D. Граница является кусочно-заданной, поэтому будем проводить исследование функции z (x, y) отдельно на каждом участке границы.

а) Уравнение участка АВ имеет вид:  и функция z  является функцией одной переменной у:

.

Исследуем поведение z1 (y) по правилам нахождения наибольшего и наименьшего значений функции одной переменной на замкнутом промежутке. Как известно, непрерывная функция на замкнутом промежутке достигает своих наибольшего и наименьшего значений либо на концах промежутка, либо в стационарных точках внутри промежутка (если они есть).

Исследуем поведение функции z1(y) на участке АВ:  – стационарная точка на границе АВ, совпадающая с левым концом промежутка. Сравнивая значения функции z1(A) = z1(–1) = 4, z1(B) = z1(3) = 20, получаем: .

б) Уравнение участка АС имеет вид:  и функция z  является

функцией одной переменной x:

.

Исследуем поведение функции z2(х) на участке АС:  – стационарная точка на границе АС, лежащая внутри промежутка. Сравнивая значения функции z2(A) = z1(А) = 4, z2(С) = z2(4) = 8 и z2(х0) = z2(1,5) =1,75, получаем: .

в) Уравнение участка ВС имеет вид:  и функция z  является функцией одной переменной х:

Исследуем поведение функции z3(х) на участке ВС:  – стационарная точка на границе ВС, лежащая внутри промежутка. Сравнивая значения функции

z3(В) = z1(В) = 20, z3(С) = z2(С) = 8 и z3(х1) = z3(2,5) =1,25,

получаем: .

 Сравнивая все найденные значения функции, выбираем среди них наибольшее и наименьшее значения функции z (x, y) в области D:

zнаиб = z(В) = 20, zнаим = z(М) = 1.

2) Отметим на построенном ранее чертеже области D (рис. 9) точки, в которых функция имеет наибольшее и наименьшее значения: В(0,3) и М(2,0), а также все найденные в процессе решения точки, указав значения функции z(x, y) в этих точках.

Ответы: 1) zнаиб = z(В) = z(0,3) = 20, zнаим = z(М) = z(2,0) = 1; 2) рисунок 9.

Теорема (формула Ньютона – Лейбница)

Если функция  непрерывна на , то справедлива
формула

,

где  – любая первообразная для .

Доказательство. Из свойств неопределенного интеграла известно, что две произвольные первообразные для одной и той же функции различаются на постоянную, т.е. первообразные  и  
функции   связаны соотношением , поэтому

,

,  – постоянная.

Тогда при  имеем , т.е. ;
при   имеем  или  – приращение первообразной  на  – обычно обозначают

,

здесь  – какая-либо первообразная подынтегральной функции.


Вычисление криволинейных интегралов