Матрицы Вычислить предел Неопределенный интеграл Производная функции Определенные интегралы Двойной интеграл Разложить в ряд Лорана Изменить порядок интегрирования Найти объем тела Вычислить криволинейный интеграл

Примеры решения задач по математике 1-2 курса технического университета

Производная и дифференциал. Исследование функций.

Задания для подготовки к практическому занятию

Прочитайте предложенные рассуждения и примеры.

1. Дифференциал функции

Пример. Дана функция . Найти ее первый дифференциал dy

Решение: Воспользуемся формулой первого дифференциала: .

. Таким образом, .

2. Производные и дифференциалы высших порядков

Пример. Дана функция  Найти

Решение: Воспользуемся формулой второго дифференциала: . Для того. Чтобы найти вторую производную , продифференцируем данную функцию последовательно дважды:

  ;

.

Таким образом,

задачи

Выполнить, если возможно, действия с матрицами:

; где

  .

Даны векторы: . Найти площадь треугольника, который образуют эти векторы, отложенные из одной точки

Даны векторы: . Найти:

 векторное произведение ; скалярное произведение

Вычислить пределы:

;  ;    ; ;   ; ;

Дана функция у=у(х). Найти: y´; dy

; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;

Замечание 2. Если полюс 0 лежит внутри области D, то правильную область D в полярной системе координат можно описать неравенствами:

; .

Переход от прямоугольных координат к полярным в двойном интеграле проводится для упрощения его вычисления в случае, если:

1) функция f (x;y) зависит от  или от , т.к. и ;

2) если область D ограничена кривыми, уравнения которых легко преобразуются в полярные координаты.

Теорема. Пусть выполнены условия:

f (x;y) непрерывна в замкнутой области D;

Область D является правильной в полярной системе координат, т.е. область D задана неравенствами: , ;

Функции   и  непрерывны при .

Тогда справедливо равенство:


Вычисление тройных интегралов