Вычислить массу дуги кривой Неопределенный интеграл Определенный интеграл Вычислить тройной интеграл Цилиндрические координаты Вычисление двойного интеграла Криволинейный интеграл Поверхностный интеграл Функция нескольких переменных

Примеры решения задач по математике 1-2 курса технического университета

Решение примерного варианта контрольной работы №1

Задача 1. Дана функция z = cos2(2x – y). Требуется:

1) найти частные производные  и ;

2) найти полный дифференциал dz;

3) показать, что для данной функции справедливо равенство: .

Решение.

1) При нахождении  считаем аргумент y постоянным:

= (cos2(2x – y)) = 2cos(2x – y)(cos(2x – y)) =

= 2cos(2x – y)(–sin(2x – y))(2x – y) = –2cos(2x – y)sin(2x – y)((2x) – (y)) =

= – 2cos(2x – y)sin(2x – y)(2 – 0) = –sin(2(2x – y))2 = –2sin(4x – 2y).

При нахождении  считаем аргумент x постоянным:

  = (cos2(2x – y)) = 2cos(2x – y)(cos(2x – y)) =

= 2cos(2x – y)(–sin(2x – y))(2x – y) = –2cos(2x – y)sin(2x – y)((2x) – (y)) =

= – sin(2(2x – y))(0 – 1) = sin(4x – 2y).

2) По формуле (1) находим полный дифференциал функции:

dz =  = –2sin(4x – 2y)dx + sin(4x – 2y)dy.

3) Найдем смешанные частные производные второго порядка.

Для того, чтобы найти , дифференцируем  по у:

  =  = (–2sin(4x – 2y)) = [считаем x постоянным] =

= – 2cos(4x – 2y)(4x – 2y) = – 2cos(4x – 2y)(0 – 2) = 4cos(4x – 2y).

Для того, чтобы найти , дифференцируем  по x:

  =  = (sin(4x – 2y)) = [считаем y постоянным] =

= cos(4x – 2y)(4x – 2y) = cos(4x – 2y)(4 – 0) = 4cos(4x – 2y).

Получили:  = 4cos(4x – 2y),  = 4cos(4x – 2y)  .

Ответы: 1) = –2sin(4x – 2y);  = sin(4x – 2y);

2) dz = –2sin(4x – 2y)dx + sin(4x – 2y)dy;

3) равенство  выполнено.

Теорема (необходимое условие существования определенного интеграла )

Если функция интегрируема (по Риману) на отрезке, то она
ограничена на нем.

Доказательство. Пусть  интегрируема на , т.е. существует . Покажем ограниченность функции  на , т.е.

.

Предположим, что  не ограничена на . Тогда

.

При ,   можно построить последовательность :   и . Поэтому можно указать такое
разбиение   отрезка  и провести выбор чисел  так, что интегральная сумма   примет значение больше любого наперед заданного числа, т.е. определение определенного интеграла не выполнится.

Итак, только для ограниченной на  функции  существует интеграл .

Заметим, однако, что не для всякой ограниченной на  функции  существует интеграл, т.е. требование ограниченности функции является НЕОБХОДИМЫМ, но не является ДОСТАТОЧНЫМ условием интегрируемости функции.

Задача . Дана функция z = cos2(2x – y). Требуется: 1) найти частные производные  и ; 2) найти полный дифференциал dz;

 


Вычисление криволинейных интегралов