Вычислить массу дуги кривой Неопределенный интеграл Определенный интеграл Вычислить тройной интеграл Цилиндрические координаты Вычисление двойного интеграла Криволинейный интеграл Поверхностный интеграл Функция нескольких переменных

Примеры решения задач по математике 1-2 курса технического университета

Справочный материал к выполнению контрольной работы №2

Двойной интеграл

Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

Пусть функция 2-х переменных z = f (x, y) задана и непрерывна в замкнутой области xOy. Двойной интеграл от этой функции по области D имеет вид: , где .

Область xOy называется правильной в направлении оси Oy, если всякая прямая, параллельная оси Oy пересекает границу области не более, чем в двух точках (за исключением участков границы, параллельных Oy).

Если область D – правильная в направлении оси Oy (рис. 2), то ее можно задать системой неравенств:

В этом случае двойной интеграл от функции z = f (x, y) по области D можно вычислить при помощи двукратного (повторного) интеграла:

.

Здесь внутренний интеграл вычисляется по переменной y в предположении, что x – постоянная (x = const); результатом вычисления внутреннего интеграла является некоторая функция Ф (x). Затем вычисляется внешний интеграл от Ф (x) по переменной x в постоянных пределах, в результате получается число.

Пример. Вычислить , если , D:

Если область D – правильная в направлении оси Oх (рис. 3), то она задается системой неравенств:  и тогда двойной интеграл сводится к повторному интегралу по формуле:

.

Здесь внутренний интеграл вычисляется по переменной x в предположении, что y = const; результатом вычисления внутреннего интеграла является некоторая функция от y, которая затем интегрируется в постоянных пределах.

Если область D – правильная в обоих направлениях, то повторный интеграл не зависит от порядка интегрирования, и для вычисления двойного интеграла можно использовать любой из двух порядков интегрирования:

.

  Если область D – неправильная в обоих направлениях, то ее можно разбить на правильные части и воспользоваться свойством аддитивности двойного интеграла: .

 

Вычисление двойного интеграла в полярных координатах

Пусть область D задается в полярных координатах системой неравенств  Такая область (рис. 4) является правильной в полярной системе координат (каждый луч, выходящий из полюса, пересекает границу области не более, чем в 2-x точках, за исключением участков границы, совпадающих с некоторым полярным лучом).

Преобразование двойного интеграла по области D к полярным координатам осуществляется при помощи формул

:

.

Полученный двойной интеграл в полярных координатах может быть сведен к повторному интегралу при помощи неравенств, задающих область D. В результате получаем формулу перехода от двойного интеграла к повторному интегралу в полярных координатах:

.

Некоторые приложения двойных интегралов

 Если подынтегральная функция f (x, y) º 1, то двойной интеграл от функции f (x, y) по области D равен площади области интегрирования:

.

Если область D занята тонкой пластинкой и  – поверхностная плотность распределения неоднородного материала (т.е. масса единицы площади), то при помощи двойного интеграла можно вычислить массу пластинки, ее статические моменты относительно осей координат и другие величины.

Масса пластинки: m = .

Статический момент относительно оси Ox:

.  (11)

Статический момент относительно оси Oy: My = .

Все перечисленные интегралы можно вычислить в декартовых либо в полярных координатах, переходя к соответствующему повторному интегралу.

ТЕОРЕМА 2 (достаточное условие существования точки
локального экстремума функции)

Пусть функция  непрерывна и дважды дифференцируема на ; для всякого   – непрерывная функция.

Тогда если 1)  и 2) , то при  точка  является точкой локального минимума функции ;

при    – точка локального максимума функции .

Доказательство. Пусть для определенности . Тогда по формуле Тейлора имеем

,

или

 ().

Поскольку порядок слагаемых в правой части равенства разный, то можно указать сколь угодно малое число , такое что в   и знак  совпадет со знаком , т.е. для рассматриваемого случая  получаем  для , . По определению это означает, что  – точка  функции .

Аналогично рассуждаем для .


Вычисление криволинейных интегралов