Вычислить массу дуги кривой Неопределенный интеграл Определенный интеграл Вычислить тройной интеграл Цилиндрические координаты Вычисление двойного интеграла Криволинейный интеграл Поверхностный интеграл Функция нескольких переменных

Примеры решения задач по математике 1-2 курса технического университета

Функции комплексной переменной

Пример 2. Проверить аналитичность ФКП .

  Þ u = x2 – y2 – 2x; v = 2xy + 2y (см. пример 1). Проверим выполнение условий Коши-Римана:

.

Условия (10) не выполняются, следовательно, эта функция не является аналитической.

Пример 3. Проверить аналитичность ФКП .

Выделим действительную и мнимую части функции:

.

Проверим выполнение условий Коши-Римана:

.

Условия выполняются во всех точках, кроме особой точки (0, 0), в которой функции и u(x, y) и v(x, y) не определены. Следовательно, функция   аналитическая при .

Если функция w = f (z) аналитическая в области D, то ее производную   можно найти, используя правила дифференцирования, аналогичные правилам дифференцирования функции одной действительной переменной.

Пример 4. Вычислить значение производной функции  в точке

z0 = – 1+ i.

Функция  – аналитическая, а значит, дифференцируемая во всей своей области определения (см. пример 3). Ее производная:

.

Вычислим значение производной в точке z0 = – 1+ i:

Следовательно, .

ТЕОРЕМА (о достаточном условии выпуклости функции на
промежутке)

Для всякой дважды дифференцируемой на  функции справедливы утверждения:

,

а также

.

Доказательство. Пусть для определенности  на . Разложим  по формуле Тейлора при  в произвольной точке , :

,

здесь  лежит между   и , т.е.  и . Тогда  для всяких значений  и  из интервала , т.е. по определению  – выпуклая вниз (сокр. ) на .

Аналогично: для  – выпуклая вверх на , если  на .


Вычисление криволинейных интегралов