Вычислить массу дуги кривой Неопределенный интеграл Определенный интеграл Вычислить тройной интеграл Цилиндрические координаты Вычисление двойного интеграла Криволинейный интеграл Поверхностный интеграл Функция нескольких переменных

Примеры решения задач по математике 1-2 курса технического университета

Скалярное поле. Градиент. Производная по направлению

Говорят, что в двумерной области DxOy задано скалярное поле, если в каждой точке M(x, y) Î D задана скалярная функция координат точки:

U(M) = U(x, y).

Пример: скалярное поле температур T(x, y) в области D.

Линии уровня скалярного поля – это такие линии, на каждой из которых функция U(x, y) сохраняет постоянное значение.

Уравнения линий уровня скалярного поля: U(x, y) = const.

Геометрически линии уровня получаются, если поверхность z = U(x, y) пересекать горизонтальными плоскостями z = С и проектировать линии пересечения на плоскость xOy.

Градиентом скалярного поля U(x, y) в фиксированной точке  называется вектор, проекции которого на оси координат совпадают с частными производными функции, вычисленными в точке М0:

, (7)

где векторы  – это орты координатных осей.

Вектор градиента  направлен перпендикулярно касательной к линии уровня, проходящей через точку М0. Направление градиента указывает направление наибольшего роста функции U(x, y) в точке М0 .

Отложим от фиксированной точки M0(x0, y0) некоторый вектор .

Скорость изменения скалярного поля U(x, y) в направлении вектора характеризует величина , называемая производной по направлению.

Если в прямоугольной системе координат xОy вектор  имеет направляющие косинусы cosa и cosb, то производная функции U(x, y) по направлению вектора  в точке М0 – число   – можно найти по формуле:

, (8)

Напомним формулы для вычисления направляющих косинусов вектора :

, где модуль вектора: .

Аналогично определяют скалярное поле U(M) в трехмерной области V:

U(M) = U(x, y, z), . Поверхности уровня скалярного поля – это такие поверхности, на каждой из которых функция U(x, y, z) сохраняет постоянное значение. Уравнения поверхностей уровня скалярного поля: U(x, y, z) = const.

Градиент скалярного поля U(x, y, z) в произвольной точке M(x, y, z):

, (9)

где векторы  – это орты координатных осей.

 Вектор  поля U(x, y, z) направлен параллельно нормали к поверхности уровня U(x, y, z) = const в точке М.

ЗАДАНИЕ для САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

 

1. Разложить функцию  по формуле Тейлора в окрестности точки  до членов второго порядка включительно.

2. Функцию  представить в виде суммы степеней разностей , , .

3. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки  функцию  при .

4. Вычислить приближенно значение функции  в точке , взяв в формуле Тейлора .

5. Вычислить приближенно значение функции

  в точке ,
используя формулу Тейлора при .

Ответы. 1. ; применяем формулу , , . Погрешность приближенного равенства , где .

2.

; используем формулу Тейлора для  в окрестности точки  при .

3. , где .

4. .

5. .


Вычисление поверхностных интегралов