Метод проецирования Комплексный чертеж линии Комплексный чертеж пространственной кривой Классификация поверхностей Поверхности вращения второго порядка Конические сечения Метрические задачи

Начертательная геометрия методы выполнения чертежей и задач

Конические сечения

Решение второй главной позиционной задачи по 2 алгоритму рассмотрим на примере конических сечений. Ещё в Древней Греции был известен тот факт, что при пересечении конуса различными плоскостями можно получить прямые линии, кривые второго порядка и, как вырожденный случай, точку. На рис. 3-17 показана фронтальная проекция конуса W2, пересечённого фронтально проецирующими плоскостями L2, Г2, F2, D2, S2; в сечениях получаются, соответственно, две прямые а и b, окружность c, эллипс d, парабола m и гипербола k.

Рис. 3-17

Рассмотрим каждый случай получения конических сечений, представленных на рис. 3-17, с точки зрения решения 2 ГПЗ по 2 алгоритму.

1. Две образующие получатся в сечении, если плоскость, пересекая конус, проходит через его вершину (рис. 3-18).

Fkujhbnv^ W Ç L = a?b$ 2 UGP? 2 fku/

L ^^ G2 Þ a2b2 = L2

a1b1 Ì W

Рис. 3-18

Частным случаем такого вида пересечения конуса плоскостью является такое положение, при котором плоскость L проходит через ось i конуса (на рис. 3-19 L1 совпадает с плоскостью фронтального меридиана).

Рис. 3-19

Результатом пересечения являются образующие конуса с максимальным углом между ними (на рис. 3-19 это - очерковые образующие конуса SA и SB).

Алгоритм: W Ç L = SA + SB. 2 ГПЗ, 2 алг.

L ^^ П1 Þ S1A1 + S1B1 = L1.

S2A2 + S2B2 Ì W.

2. Окружность получится в сечении, если плоскость, пересекая конус, параллельна окружности основания n (рис 3-20), а значит, перпендикулярна оси i конуса.

Рис. 3-20

Алгоритм: Г Ç W = с. 2 ГПЗ, 2 алгоритм.

Г ^^ П2 Þ с2 = Г2.

с1 Ì W .

Вырожденный случай - плоскость Г(Г2) проходит через вершину S конуса W (рис. 3-21). Тогда эта плоскость пересечёт конус только в одной точке. W Ç Г(Г2) = К.

Рис. 3-21

3. Эллипс получится в сечении, если плоскость не перпендикулярна оси конуса и пересекает все его образующие (рис. 3-22, 3-23, 3-24).

Алгоритм: Ф Ç W = d . 2 ГПЗ, 2 алгоритм.

Ф ^^ П2 Þ d2 = Ф2.

d1 Ì W.

Рис. 3-22

Построение эллипса начинаем с его осей (рис. 3-22). АВ - большая ось эллипса, причём, А2В2 - её натуральная величина, А1В1 - её проекция. СЕ - малая ось эллипса, она перпендикулярна большой оси и делит её пополам. Чтобы найти СЕ, разделим А2В2 с помощью циркуля пополам, получим точки С2, Е2, и радиусом R , равным радиусу параллели, на которой лежат точки С и Е, сделаем засечки на линии связи, проведённой от точек С2, Е2. Получим точки С1 и Е1. Эти точки - фронтально конкурирующие, С1 - ближе к нам, поэтому Е2 - невидимая.

Далее эллипс можно строить двояко: Можно строить его по двум осям любым из известных способов (например, приведённым в разделе "Кривые линии").

Задача: Построить линию пересечения сферы S и горизонтально проецирующей призмы Г

3 алгоритм Решение задач в случае, когда обе пересекающиеся фигуры - непроецирующие. В данном случае задача усложняется тем, что на чертеже нет главной проекции ни у одной из пересекающихся фигур. Поэтому для решения таких задач специально вводят вспомогательную секущую поверхность-посредник, которая пересекает обе фигуры, выявляя общие точки. Эта поверхность-посредник может быть проецирующей, и тогда решение задачи можно свести ко 2 алгоритму, или непроецирующей (например, сфера - посредник). Решение первой и второй ГПЗ рассмотрим отдельно.

Решение 2ГПЗ (в случае пересечения непроецирующих фигур)

Частные случаи пересечения поверхностей вращения второго порядка Пересечение соосных поверхностей вращения.


Начертательная геометрия