Лабораторные работы по общему курсу физики

Измерения и погрешности измерений
Построение и оформление графиков
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 6
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 7
Определение ускорения свободного падения
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 8
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 9
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 10
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 11
МЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЯЗКОСТИ ЖИДКОСТИ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ТЕЛ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ТЕПЛОПЕРЕДАЧИ ПРИ КОНВЕКЦИИ
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 16
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ

П р и м е р: .

Пользуясь указанными соотношениями, легко определить абсолютную погрешность не прибегая к дифференцированию:

Обратите внимание, что в этом примере, как и в трех последних зависимостях, постоянный множитель a (здесь ) не входит в формулу погрешности.

Порядок обработки и форма представления

результатов косвенных измерений

1. Результаты измерений каждой из величин хi обрабатывают как прямые измерения и представляют в стандартной форме:

, %.

2. Пользуясь средними значениями величин , находят оценку значения результата косвенного измерения

3. Пользуясь соотношением (14) или (15), или зависимостями для определения погрешностей косвенных величин, выражаемых простейшими функциями, описанными выше, вычисляют величину  и находят . Можно просто пользоваться формулой (13). 

4. Результат косвенного измерения представляют в стандартной форме: 

%.

Графическое представление результатов измерений

Построение и оформление графиков

Часто в эксперименте изучается зависимость одной величины от другой, тогда результаты измерений могут быть представлены графически. Графики дают наглядное представление о виде функциональной зависимости, выявляют многие ее важные свойства и особенности. При построении графиков руководствуются следующими правилами.

1. По оси абсцисс всегда откладывают ту величину, которая является причиной изменения другой (т.е. аргумент). По оси ординат откладывают функцию.

2. Для каждой из величин определяют диапазон в котором она изменяется и затем подбирают масштаб, в котором эта величина будет изображаться на оси. Масштаб должен быть простым, шкала должна легко читаться, т.е. единица масштаба должна соответствовать ”круглому” числу измеряемой величины (1, 2, 5, 10 или те же цифры, умноженные на 10). Масштаб должен быть таким, чтобы погрешность измерений представлялась на графике отрезком заметной длины. Единица масштаба должна равняться ”круглому” числу миллиметров (1, 2, 5, 10 и т. п.) чтобы легко можно было откладывать десятые и сотые доли.

3. На каждой оси графика обязательно наносят шкалу с ”круглыми” числами измеряемой величины.

4. На осях графика следует указывать название (или символ) и единицы измерения величин.

5. Экспериментальные результаты представляют на графике в виде точек, обводя их кружком или другим знаком (D,O,+). Точки, относящиеся к различным группам опытов, обозначают разными знаками. Погрешности указывают для одной или для обеих измеряемых величин в виде отрезков длиной в доверительный интервал (рис. 1).

Чтобы не загромождать график, делают это в следующих случаях: при построении кривой по экспериментальным точкам; при сравнении экспериментальных данных с теоретической кривой.

Подпись:  
Рис. 1
6. В соответствии с экспериментальными точками проводят ”наилучшую” кривую, проходящую через доверительные интервалы возможно ближе к экспериментальным точкам. Не следует соединять точки ломаной линией. Обычно физические зависимости соответствуют гладким, плавно меняющимся функциям. На каждом участке графика точки должны располагаться примерно поровну по обеим сторонам кривой. При построении кривой следует учитывать погрешности измерений.

7. Графики снабжают заголовками и пояснениями, содержащими точное и краткое описание того, что показывает график. Заголовок и пояснения располагают под графиком или на самом графике – на свободном от кривых и экспериментальных точек месте.

Графический анализ данных

Сравнение с теорией. Для проверки теоретической зависимости на график наносят экспериментальные точки с указанием погрешностей, а также строят теоретическую кривую. В зависимости от того, пройдет ли кривая через доверительные интервалы экспериментальных точек, результаты эксперимента признают согласующимися (а) или несогласующимися (б) с теорией (рис. 2).


Рис. 2

Подбор параметров. Часто экспериментально определяются величины х и у, связанные функциональной зависимостью

Вид функции f(x) бывает обычно известен из теоретических соображений, а параметры  определяются по результатам эксперимента. В случае линейной зависимости есть простые приемы нахождения параметров, позволяющие построить ''наилучшую'' прямую. Пусть между хi и уi предполагается линейная зависимость  и требуется определить параметры k и b, наиболее соответствующие результатам измерений.

Для приближенного определения параметров нужно нанести экспериментальные точки на график и провести прямую так, чтобы по обе стороны от нее оказалось одинаковое количество точек и отклонения точек от прямой были бы минимальны. Угловой коэффициент k определяется из графика или вычисляется через координаты крайних экспериментальных точек:

Погрешность находят по формуле

где у – погрешность в определении у. Если погрешность измерения у неизвестна, в качестве у следует взять наибольшее отклонение точек от проведенной прямой. Для более точного определения  k воспользуемся методом парных точек. Пронумеруем экспериментальные точки (рис.3), возьмем две из них, например 1 и 4, проведем через них прямую. Эта прямая имеет угловой коэффициент

Рис. 3

Возьмем другую пару точек – 2 и 5, снова построим прямую и определим ее угловой коэффициент k2. Проведя таким образом еще несколько прямых, получим набор значений угловых коэффициентов. Их среднее значение даст угловой коэффициент k искомой прямой, которая и будет ''наилучшей''. Погрешность k определяется так же, как и погрешность среднего значения серии измерений.

Точки для проведения вспомогательных прямых следует выбирать так, чтобы расстояния между координатами хi этих точек были для всех прямых одинаковыми и немного превышали половину всего интервала значений величины х. При этом точность определения k будет наибольшей.

Вспомогательные прямые на графике обычно не проводят, а ограничиваются лишь вычислением угловых коэффициентов. На графике строят только ''наилучшую'' прямую.

Для нахождения b нужно учесть, что наилучшая прямая должна проходить через центр тяжести экспериментальных точек, т. е. через точку с координатами

Из уравнения прямой находим

При построении наилучшей прямой измеренные значения х обычно считают точными. Тогда погрешность определения b

В качестве грубой оценки  используем максимальное отклонение точек от проведенной прямой.

Обработка результатов измерений

методом наименьших квадратов

Между измеряемыми величинами (например, хi и уi, где i - номер измерения) часто существует функциональная зависимость. Пусть вид этой зависимости известен с точностью до значений некоторых параметров а1, а2, ... , аm

и нужно подобрать значения параметров так, чтобы расхождение расчетной кривой с результатами опыта было минимальным.

Критерием получения ''наилучшей'' комбинации параметров служит минимальность суммы квадратов отклонений или среднеквадратичного отклонения экспериментальных точек от расчетной кривой. Подбор параметров по такому принципу называется методом наименьших квадратов (МНК).

МНК не дает вида зависимости у(х). Вид зависимости выбирается либо из теоретических предположений, либо как наиболее соответствующий экспериментальным данным. Поэтому перед применением МНК необходимо убедиться, что результаты опыта действительно соответствуют предполагаемой зависимости. Прежде всего нужно представить результаты графически.

При интерпретации опытных данных значения хi будем считать точными. Погрешности в определении х приводят к дополнительному разбросу уi и тем самым учитываются в отклонениях уi от расчетной кривой.

Критерий МНК требует минимальности суммы

Условие минимума  при i=1, ... , m содержит m уравнений, т.е. столько, сколько неизвестных параметров аi.

Применим МНК к линейной зависимости, которая в нашем практикуме часто встречается:

Сумма

 (17)

минимальна при условии

Отсюда приходим к уравнениям

Разделив обе части уравнений на m, получим

 (18)

 (19)

Из последнего уравнения следует, что наилучшая прямая проходит через центр тяжести экспериментальных точек, т. е. через точку с координатами

Решение уравнений (18) и (19) дает следующие выражения для параметров прямой:

Выражения среднеквадратичных отклонений приводим без вывода:

Если экспериментальные точки группируются вдали от начала координат, то вычисления должны проводиться с большей точностью, без округлений.

Вычисления по МНК обычно проводят на ЭВМ, используя стандартные программы. В результате вычислений следует написать уравнение прямой и провести ее на графике.

Это и будет расчетная линия, имеющая наименьшее расхождение с результатами эксперимента.