Лабораторные работы по общему курсу физики

Измерения и погрешности измерений
Построение и оформление графиков
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 6
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 7
Определение ускорения свободного падения
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 8
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 9
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 10
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 11
МЕХАНИЧЕСКИЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЯЗКОСТИ ЖИДКОСТИ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ТЕЛ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ТЕПЛОПЕРЕДАЧИ ПРИ КОНВЕКЦИИ
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 16
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ

Оценка систематической погрешности результата измерений

Систематические погрешности можно разделить на группы.

Погрешности, природа которых нам известна, а величина может быть достаточнo точно определена, можно учесть при обработке результатов и исключить введением соответствующих поправок (исключенные систематические погрешности). Например, если шкала линейки, которой производили измерение, начиналась не от нуля, то при отсчете нужно ввести соответствующую поправку.

Другую группу составляют погрешности, которые трудно исключить, ибо они зависят от многих факторов: погрешности метода, погрешности средств измерений и других (неисключенные систематические погрешности). Для средств измерений указываются предельные (т.е. максимальные) не исключенные систематические погрешности (приборные) – .

Предельная систематическая погрешность (приборная) определяется по классу точности прибора или как половина цены наименьшего деления шкалы прибора, когда не указан класс точности. Погрешность при измерении штангенциркулем или микрометром определяется как половина точности измерения, указанной на приборе. При взвешивании на весах предельная погрешность принимается равной половине массы наименьшей гири в разновесе.

Электромагнитные приборы обычно характеризуются классом точности в пределах от 0,1 до 4,0 (применяются следующие классы точности: 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 4,0). Так, если на приборе указан класс точности 0,5, то это означает, что при каждом измерении допускается погрешность, не большая, чем 0,5% от всей действующей шкалы прибора. Например, амперметр, шкала которого рассчитана на 500 мА, при классе точности 0,5 дает погрешность в измерении тока не более чем в 0,005´500 мА=2,5 мА, т. е.

=0,01×k×xмакс ,

где k – класс точности прибора; xмакс - предельное (максимальное) значение на шкале прибора (либо данного его диапазона, если прибор многопредельный), называемое пределом измерения прибора. Класс точности указывается на шкале прибора в виде соответствующих цифр (не заключенных в кружок). Если же эти цифры заключены в кружок, то

=0,01×k×xизм ,

где xизм – действительное значение измеряемой величины. Отсюда следует  р е к о м е н д а ц и я : выбирать прибор (или шкалу многопредельного прибора) так, чтобы стрелка прибора при измерениях заходила за середину шкалы (когда класс точности не обведен кружком).

Порядок обработки и форма представления

результатов прямых измерений

1. Определяют среднее арифметическое из результатов измерений:

.

Величину  принимают за результат измерения.

2. Оценивают среднее квадратичное отклонение результатов измерений

3. Находят случайную погрешность , соответствующую заданной доверительной вероятности a :

.

Коэффициент Стьюдента  находят по таблице с учетом n и a. В лабораторной практике употребляют значения a, равные 0,90; 0,95.

4. Определяют границу неисключенной систематической (приборной) погрешности результата измерений . Если одна из величин  или  превышает другую в три и более раз, то для дальнейших расчетов используют лишь большую из них. Если же , находят полную погрешность:

5. Определяют относительную погрешность

.

6. Результат измерений представляют в стандартной форме:

 %.

Косвенные измерения

Погрешности косвенных измерений

При косвенных измерениях искомая физическая величина связана некоторой функциональной зависимостью с рядом независимых друг от друга величин x1, x2, … , xm:

y = F(x1, x2, … , xm).

Величины xi измеряют непосредственно (прямо). Результат измерения каждой из величин хi содержит свою погрешность. И в зависимости от вида функции, связывающей искомую величину y с результатами измерений xi, эти погрешности по-разному влияют на погрешность окончательного результата.

Задача состоит в том, чтобы найти наивероятнейшее значение искомой величины у и оценить погрешность ее измерения. В качестве о ц е н к и величины у принимают величину, которая представляет собой значение функции, соответствующее средним значениям величин , т. е.

Результат косвенного измерения также содержит случайную и систематическую погрешности.

Общие правила вычисления погрешностей могут быть выведены с помощью дифференциального исчисления.

Пусть интересующая нас величина y линейно зависит от измеряемой величины x:

y=ax+b. (8)

Здесь а и b – постоянные, точно известные величины. Легко показать, что если х изменить на , то y, соответственно, изменится на величину , т. е.

. (9)

Если – погрешность измерения, то  будет погрешностью результата.

В общем случае, если y=F(x), то для погрешностей, малых по сравнению с измеряемой величиной, мы можем с достаточной точностью написать (так как )

, (10)

где – производная по x, взятая при .

Из выражения (10) легко получаем относительную погрешность

,

где F() – есть значение у при ;  – производная по x, взятая при .

Если у – функция многих измеряемых величин

т.е. y=F(x1, x2, ... , xn), то

 (11)

где  и т. д. – есть частные производные от F по x1, x2, ... , xn. В математике правая часть выражения (11) называется полным дифференциалом функции нескольких независимых переменных, а слагаемые , из которых он состоит – частными дифференциалами.

Но расчет по формуле (11) дал бы з а в ы ш е н н о е значение погрешности , так как он не учитывает знак погрешностей. В действительности погрешности разных знаков частично компенсируют друг друга и погрешность результата (при той же надежности) будет меньше рассчитанной по формуле (11). Теория вероятности дает следующий метод вычисления погрешности функции:

, (12) 

 
или в общем виде

(13)

Относительная погрешность результата 

 . (14)

Так как

то для относительной погрешности получаем

. (15)

Из (15) или (14) вытекает последовательность операций для определения относительной погрешности.

П р и м е р. Экспериментально определяем плотность вещества

где m – масса тела в форме цилиндра; l – длина цилиндра; D – диаметр цилиндра; m, l, D измеряются непосредственно и имеют погрешности  p – не измеряется, но берется с некоторым приближением . Требуется определить .

Удобнее сначала определить относительную погрешность  по формуле (15). Для этого необходимо выполнить следующее.

1. Прологарифмировать функцию :

.

2. Взять частные производные от  по m, l, p, D:

3. Подставить полученные частные производные в выражение (15) и записать относительную погрешность результата:

Здесь полезно оценить вклад в общий результат погрешностей прямых измерений. Если, например,  окажется значительно меньше максимальной погрешности, то ее можно отбросить. Вообще, при вычислении  смело можно отбрасывать погрешности, не превышающие   от максимальной. При этом вычисления упрощаются и становится очевидным, какие измерения надо производить более тщательно.

4. Определить абсолютную погрешность результата:

 (16)

Погрешности в случае простейших функций. Если косвенно измеряемая величина выражается простейшей функцией, то используя указанный метод, можно вывести следующие зависимости для определения погрешностей:

если  или , то из формулы (13) получим

если  или , где а - постоянная величина, то из формулы (14) или (15) получается

если , где а - постоянная величина, то

если , где а - постоянная величина, то

Аксонометрические проекции http://auto-74.ru/ Сопромат. Практические работы по метериаловедению